题目

已知行列式1 2 3 4 4-|||-2 3-|||--1 0 2 1-|||-3 5 4 2-|||-0 0 2 3，求1 2 3 4 4-|||-2 3-|||--1 0 2 1-|||-3 5 4 2-|||-0 0 2 3，其中1 2 3 4 4-|||-2 3-|||--1 0 2 1-|||-3 5 4 2-|||-0 0 2 3为1 2 3 4 4-|||-2 3-|||--1 0 2 1-|||-3 5 4 2-|||-0 0 2 3的代数余子式。

已知行列式 $D=\begin{vmatrix} 1 &2 &3 &4\newline -1 &0 &2 &1\newline 3 &5 &4 &2\newline 0 &0 &2 &3 \end{vmatrix}$ ，求

$A_{31}+A_{33}-A_{34}$ ，其中 $A_{31},A_{33},A_{34}$ 为 $D$ 的代数余子式。

题目解答

答案

(1)首先将行列式 $D$ 的第三行替换为 $1\ 0\ 1\ -1$ ，得到行列式 $H=\begin{vmatrix} 1 &2 &3 &4\newline -1 &0 &2 &1\newline 1 &0 &1 &-1\newline 0 &0 &2 &3 \end{vmatrix}$ ，显然除第三行以外，行列式 $D$ 和 $H$ 的其他元素均一致。由代数余子式的定义可得，行列式 $D$ 和 $H$ 第三行元素的代数余子式均相等.

(2)然后，利用代数余子式计算行列式，将 $H$ 按照第三行展开可得

$H=A_{31}+A_{33}-A_{34}$ .

可知 $H$ 的值即为所求.

将 $H$ 按照第二列展开可得

$H=-2\begin{vmatrix} -1 &2 &1\newline 1 &1 &-1\newline 0 &2 &3 \end{vmatrix}=-2\begin{vmatrix} -1 &2 &1\newline 0 &3 &0\newline 0 &2 &3 \end{vmatrix}$

$=2\begin{vmatrix} 3 &0\newline 2 &3 \end{vmatrix}=18.$

因此 $A_{31}+A_{33}-A_{34}=H=18.$

故该题答案为18.

解析

步骤 1：定义代数余子式
代数余子式${A}_{ij}$是行列式中元素$a_{ij}$的余子式$M_{ij}$乘以$(-1)^{i+j}$，即${A}_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$。其中，$M_{ij}$是去掉第$i$行和第$j$列后剩余的行列式。

步骤 2：构造新的行列式
构造一个新的行列式$H$，其第三行元素为$0,1,-1,0$，其余元素与原行列式相同。这样，行列式$H$的第三行元素的代数余子式与原行列式相同，即${A}_{31}={A}_{31}^{H}$，${A}_{33}={A}_{33}^{H}$，${A}_{34}={A}_{34}^{H}$。

步骤 3：计算行列式$H$
按照第三行展开行列式$H$，得到$H={A}_{31}^{H}+{A}_{33}^{H}-{A}_{34}^{H}$。由于${A}_{31}^{H}={A}_{31}$，${A}_{33}^{H}={A}_{33}$，${A}_{34}^{H}={A}_{34}$，所以$H={A}_{31}+{A}_{33}-{A}_{34}$。

步骤 4：计算行列式$H$的值
将行列式$H$按照第二列展开，计算其值。假设行列式$H$的值为$18$，则${A}_{31}+{A}_{33}-{A}_{34}=18$。