五、(本题10分)已知L是第一象限中从点O(0,0)沿圆周x^2+y^2=2x到点A(2,0)，再沿圆周x^2+y^2=4到点B(0,2)的曲线段，计算曲线积分I=int3x^2ydx+(x^3+x-2y)dy.

考查要点：本题主要考查格林定理的应用以及曲线积分的计算技巧。关键在于通过构造辅助线段将非闭合曲线转化为闭合曲线，从而利用格林定理简化计算。

解题思路：

1. 构造闭合曲线：添加从点$B(0,2)$到$O(0,0)$的直线段$L_1$，使原曲线$L$与$L_1$构成闭合曲线$L + L_1$。
2. 应用格林定理：对闭合曲线$L + L_1$应用格林定理，将曲线积分转化为区域$D$上的二重积分，其中$D$为闭合曲线包围的区域。
3. 计算辅助线段积分：单独计算$L_1$上的积分，最终通过闭合积分减去$L_1$的积分得到原积分$I$。

破题关键：

• 识别闭合区域：明确闭合曲线$L + L_1$包围的区域$D$的形状，确定其面积。
• 格林定理的条件：确保闭合曲线的方向正确（逆时针方向），并正确计算偏导数$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$。

构造闭合曲线

添加直线段$L_1$（从$B(0,2)$到$O(0,0)$），闭合曲线$L + L_1$包围的区域$D$为第一象限中由两段圆弧和直线段围成的区域。

应用格林定理

对闭合曲线$L + L_1$应用格林定理：
$\oint_{L + L_1} P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA$
其中，$P = 3x^2y$，$Q = x^3 + x - 2y$，计算偏导数：
$\frac{\partial Q}{\partial x} = 3x^2 + 1, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 3x^2$
因此：
$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (3x^2 + 1) - 3x^2 = 1$
二重积分简化为区域$D$的面积：
$\iint_D 1 \, dA = \text{Area}(D) = \frac{\pi}{2}$

计算辅助线段$L_1$的积分

参数化$L_1$：$x = 0$，$y$从$2$到$0$，则$dx = 0$，$dy = dt$（$t$从$0$到$1$）。代入积分：
$\int_{L_1} (3x^2y) \, dx + (x^3 + x - 2y) \, dy = \int_{2}^{0} (-2y) \, dy = \left[ -y^2 \right]_{2}^{0} = 4$

求原积分$I$

闭合积分结果为$\frac{\pi}{2}$，减去$L_1$的积分：
$I = \frac{\pi}{2} - 4$