题目
设常数 gt 0, 则级数 sum _(n=1)^infty ((-1))^n(1-cos dfrac (alpha )(n)) ()-|||-(A)发散 (B)条件收敛-|||-(C)绝对收敛 (D) 收敛性和α值有关
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析级数的通项
级数的通项为 ${(-1)}^{n}(1-\cos \dfrac {\alpha }{n})$。注意到 $\cos \dfrac {\alpha }{n}$ 在 $n$ 趋向于无穷大时接近于 1，因此 $1-\cos \dfrac {\alpha }{n}$ 是一个正数且趋向于 0。
步骤 2：使用泰勒展开
利用 $\cos x$ 的泰勒展开，我们有 $\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + O(x^4)$。因此，$1-\cos \dfrac {\alpha }{n} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{\alpha }^{2}}{{n}^{2}} + O(\dfrac{1}{n^4})$。这表明级数的通项可以近似为 $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{\alpha }^{2}}{{n}^{2}}$。
步骤 3：判断级数的收敛性
由于 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{2}}$ 是一个收敛的 p-级数（p=2>1），因此 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac{{\alpha }^{2}}{{n}^{2}}$ 也收敛。这意味着原级数的绝对值级数 $\sum _{n=1}^{\infty }|{(-1)}^{n}(1-\cos \dfrac {\alpha }{n})|$ 收敛，从而原级数绝对收敛。
级数的通项为 ${(-1)}^{n}(1-\cos \dfrac {\alpha }{n})$。注意到 $\cos \dfrac {\alpha }{n}$ 在 $n$ 趋向于无穷大时接近于 1，因此 $1-\cos \dfrac {\alpha }{n}$ 是一个正数且趋向于 0。
步骤 2：使用泰勒展开
利用 $\cos x$ 的泰勒展开，我们有 $\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + O(x^4)$。因此，$1-\cos \dfrac {\alpha }{n} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{\alpha }^{2}}{{n}^{2}} + O(\dfrac{1}{n^4})$。这表明级数的通项可以近似为 $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{\alpha }^{2}}{{n}^{2}}$。
步骤 3：判断级数的收敛性
由于 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{2}}$ 是一个收敛的 p-级数（p=2>1），因此 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac{{\alpha }^{2}}{{n}^{2}}$ 也收敛。这意味着原级数的绝对值级数 $\sum _{n=1}^{\infty }|{(-1)}^{n}(1-\cos \dfrac {\alpha }{n})|$ 收敛，从而原级数绝对收敛。