7.求下列矩阵的逆.-|||-1 2-|||-(1) ;-|||-2 5-|||-(2) (} 1& 2& -1 3& 4& -2 5& -4& 1 ) .

矩阵求逆是线性代数中的基础操作，主要考查对行列式计算、伴随矩阵或初等行变换方法的掌握。

• 2×2矩阵：直接使用公式法，计算行列式后套用标准形式。
• 3×3矩阵：通常通过增广矩阵法（行变换）或伴随矩阵法求解，需注意计算过程中的符号和步骤。

第（1）题

矩阵：
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$

计算行列式

$\det(A) = (1)(5) - (2)(2) = 1$

代入逆矩阵公式

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

第（2）题

矩阵：
$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & -2 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix}$

构造增广矩阵并行变换

通过行变换将增广矩阵 $[B|I]$ 转化为 $[I|B^{-1}]$，关键步骤如下：

1. 消去第一列下方元素：
   • 第二行：$R2 = R2 - 3R1$
   • 第三行：$R3 = R3 - 5R1$
2. 消去第二列下方元素：
   • 第三行：$R3 = R3 + 2R2$
3. 归一化第三列：
   • 第三行：$R3 = \frac{1}{3}R3$
4. 回代消去上方元素：
   • 第二行：$R2 = R2 + \frac{1}{2}R3$
   • 第一行：$R1 = R1 + R3$

最终得到逆矩阵：
$B^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ -\dfrac{13}{2} & 3 & -\dfrac{1}{2} \\ -16 & 7 & -1 \end{pmatrix}$

第（3）题

矩阵：
$C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

构造增广矩阵并行变换

关键步骤如下：

1. 消去第一列下方元素：
   • 第二行：$R2 = R2 - 2R1$
   • 第三行：$R3 = R3 - R1$
2. 消去第二列下方元素：
   • 第三行：$R3 = R3 + 2R2$
3. 归一化第三列：
   • 第三行：$R3 = \frac{1}{3}R3$
4. 回代消去上方元素：
   • 第二行：$R2 = R2 - \dfrac{2}{3}R3$
   • 第一行：$R1 = R1 + R3$

最终得到逆矩阵：
$C^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} \\ 0 & 1 & -\dfrac{2}{3} \\ -1 & \dfrac{1}{3} & -\dfrac{2}{3} \end{pmatrix}$