题目
第一型曲线积分yds,其中yds为直线段yds，其值为_________.
第一型曲线积分
,其中
为直线段
，其值为_________.
题目解答
答案
由微弧的性质，
，
对于线段
，
因此
.
解析
步骤 1：确定曲线的参数方程
给定的直线段为$z=0,0\leqslant y\leqslant 1$，可以将$x$和$z$视为常数，$x=0$，$z=0$，$y$作为参数，因此曲线的参数方程为$x=0$，$y=y$，$z=0$，其中$0\leqslant y\leqslant 1$。
步骤 2：计算微弧长度$ds$
根据微弧长度的定义，$ds=\sqrt{(\frac{dx}{dy})^2+(\frac{dy}{dy})^2+(\frac{dz}{dy})^2}dy$。由于$x=0$，$z=0$，$y=y$，则$\frac{dx}{dy}=0$，$\frac{dy}{dy}=1$，$\frac{dz}{dy}=0$。因此，$ds=\sqrt{0^2+1^2+0^2}dy=dy$。
步骤 3：计算第一型曲线积分
根据第一型曲线积分的定义，$\int_{L} yds=\int_{0}^{1} ydy$。计算该积分，得到$\int_{0}^{1} ydy=\frac{1}{2}y^2|_{0}^{1}=\frac{1}{2}$。
给定的直线段为$z=0,0\leqslant y\leqslant 1$，可以将$x$和$z$视为常数，$x=0$，$z=0$，$y$作为参数，因此曲线的参数方程为$x=0$，$y=y$，$z=0$，其中$0\leqslant y\leqslant 1$。
步骤 2：计算微弧长度$ds$
根据微弧长度的定义，$ds=\sqrt{(\frac{dx}{dy})^2+(\frac{dy}{dy})^2+(\frac{dz}{dy})^2}dy$。由于$x=0$，$z=0$，$y=y$，则$\frac{dx}{dy}=0$，$\frac{dy}{dy}=1$，$\frac{dz}{dy}=0$。因此，$ds=\sqrt{0^2+1^2+0^2}dy=dy$。
步骤 3：计算第一型曲线积分
根据第一型曲线积分的定义，$\int_{L} yds=\int_{0}^{1} ydy$。计算该积分，得到$\int_{0}^{1} ydy=\frac{1}{2}y^2|_{0}^{1}=\frac{1}{2}$。