17.（10分） 设可导函数f(x)满足f(x)cos x+2int_(0)^xf(t)sin tdt=x+1,求f(x).

本题考查知识点为变上限积分求导以及一阶线性微分方程的求解。解题思路如下：

1. 首先，对给定的方程$f(x)\cos x + 2\int_{0}^{x}f(t)\sin tdt = x + 1$两边求导。根据求导的加法法则$(u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime$，以及乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v+uv^\prime$和变上限积分求导公式$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}g(t)dt = g(x)$进行求导。
   • 对$f(x)\cos x$求导，根据乘积求导法则可得$(f(x)\cos x)^\prime=f^\prime(x)\cos x - f(x)\sin x$。
   • 对$2\int_{0}^{x}f(t)\sin tdt$求导，根据变上限积分求导公式可得$(2\int_{0}^{x}f(t)\sin tdt)^\prime = 2f(x)\sin x$。
   • 方程右边$(x + 1)^\prime=1$。
   • 所以求导后得到$f^\prime(x)\cos x - f(x)\sin x + 2f(x)\sin x = 1$，化简可得$f^\prime(x)\cos x + f(x)\sin x = 1$。
2. 然后，将上式两边同时除以$\cos x$，将其化为一阶线性微分方程的标准形式$y^\prime + P(x)y = Q(x)$。
   • 两边除以$\cos x$后得到$f^\prime(x) + f(x)\tan x = \sec x$，这里$P(x)=\tan x$，$Q(x)=\sec x$。
3. 接着，求解一阶线性微分方程$f^\prime(x) + f(x)\tan x = \sec x$。
   • 先求积分因子$\mu(x)=e^{\int P(x)dx}$，其中$\int P(x)dx=\int\tan xdx$，根据积分公式$\int\tan xdx=-\ln|\cos x|=\ln|\sec x|$，所以$\mu(x)=e^{\ln|\sec x|}=\sec x$。
   • 方程两边同乘积分因子$\sec x$得$\sec x f^\prime(x) + \sec x\tan x f(x) = \sec^2 x$。
   • 注意到左边$\sec x f^\prime(x) + \sec x\tan x f(x)=(\sec x f(x))^\prime$，则$(\sec x f(x))^\prime = \sec^2 x$。
   • 两边积分可得$\sec x f(x)=\int\sec^2 xdx$，根据积分公式$\int\sec^2 xdx=\tan x + C$，所以$\sec x f(x)=\tan x + C$。
   • 进而得到通解$f(x)=\cos x(\tan x + C)=\sin x + C\cos x$。
4. 最后，确定常数$C$的值。
   • 在原方程$f(x)\cos x + 2\int_{0}^{x}f(t)\sin tdt = x + 1$中，令$x = 0$，可得$f(0)\cos 0 + 2\int_{0}^{0}f(t)\sin tdt = 0 + 1$，即$f(0)=1$。
   • 将$x = 0$，$f(0)=1$代入通解$f(x)=\sin x + C\cos x$中，得到$1=\sin 0 + C\cos 0$，即$C = 1$。