题目

设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)= ) C,(x)^2+(y)^2leqslant 1 0 .()(答案填写小数形式如0.3)

设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 $f(x，y)=\left\{\begin{array}{ll} C , x^{2}+y^{2}\le 1\\ 0 \end{array}\right.$ 则 $P\left(x^2+y^2\le\frac{1}{2}\right)=$ ()(答案填写小数形式如0.3)

题目解答

答案

解： $\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f\left(x,y\right)dxdy=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1Crdr$

$=C\int_0^{2\pi}d\theta\frac{1}{2}r^2|_0^1=C\cdot2\pi\cdot\frac{1}{2}=C\pi=1,C=\frac{1}{\pi}$

$P\left(x^2+y^2\le\frac{1}{2}\right)=\int_{ }^{ }\int_{ }^{ }f\left(x,y\right)dxdy=$

$\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{1}{x}rdr=\frac{1}{\pi}\times2\pi\times\frac{1}{2}r^2|_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{2}$

$P\left(x^2+y^2\le\frac{1}{2}\right)=0.5$

解析

步骤 1：确定联合密度函数的常数C
根据联合密度函数的性质，联合密度函数在整个定义域上的积分应等于1。因此，我们首先需要确定常数C的值。
步骤 2：计算概率
根据题目要求，我们需要计算${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant \dfrac {1}{2}$的概率。这可以通过对联合密度函数在该区域上的积分来计算。
步骤 3：执行积分
将联合密度函数代入积分表达式中，计算积分值，从而得到概率值。