设函数f(x)连续,且满足 (int )_(0)^x(x-t)f(t)dt=x(x-2)(e)^x+2x.-|||-(1)求函数f(x)的表达式;-|||-(2)求函数f(x)的单调区间与极值.

步骤 1：求导数
对等式 ${\int }_{0}^{x}(x-t)f(t)dt=x(x-2){e}^{x}+2x$ 两边同时对x求导，利用微积分基本定理和链式法则，得到：
$$(x-x)f(x)+{\int }_{0}^{x}f(t)dt=(x-2+1){e}^{x}+x(x-2){e}^{x}+2$$
化简得到：
$${\int }_{0}^{x}f(t)dt=(x-1){e}^{x}+x(x-2){e}^{x}+2$$
步骤 2：再次求导
对上式两边同时对x求导，得到：
$$f(x)=(x-1+1){e}^{x}+(x-2+1){e}^{x}+x(x-2){e}^{x}$$
化简得到：
$$f(x)={e}^{x}({x}^{2}+2x-2)$$
步骤 3：求单调区间与极值
对 $f(x)={e}^{x}({x}^{2}+2x-2)$ 求导，得到：
$$f'(x)={e}^{x}({x}^{2}+4x)$$
令 $f'(x)=0$，解得 $x=-4$ 和 $x=0$。根据导数的符号，可以判断函数的单调性：
- 当 $x<-4$ 时，$f'(x)>0$，函数单调增加；
- 当 $-4- 当 $x>0$ 时，$f'(x)>0$，函数单调增加。
因此，函数的单调增加区间为 $(-\infty ,-4)$ 与 $(0,+\infty )$，单调减少区间为 $[ -4,0] $。极值点为 $x=-4$ 和 $x=0$，代入 $f(x)$ 得到极值：
- 当 $x=-4$ 时，$f(-4)=6{e}^{-4}$，为极大值；
- 当 $x=0$ 时，$f(0)=-2$，为极小值。