题目
一质点初始时从原点开始以速度v沿x轴正向运动,设运动过程中质点受到的加速度a = −kx 2,求质点运动的最大距离。
一质点初始时从原点开始以速度v沿x轴正向运动,设运动过程中质点受到的加速度a = −kx 2,求质点运动的最大距离。
题目解答
答案
解:已知:x = 0,v和a = −kx 2,运用分离变量,得:
两边积分: 
得: 
当v = 0时,质点运动的距离最大,即:
解析
步骤 1：分离变量
根据题目条件，质点的加速度a = −kx^2，其中k为常数。根据加速度的定义，a = dv/dt，同时根据链式法则，a = dv/dx * dx/dt = v * dv/dx。因此，可以将加速度的表达式写为v * dv/dx = −kx^2。分离变量，得到vdv = −kx^2dx。
步骤 2：积分求解
对上一步得到的表达式两边积分，得到∫vdv = ∫−kx^2dx。左边积分得到1/2v^2，右边积分得到−k/3x^3。因此，1/2v^2 = −k/3x^3 + C，其中C为积分常数。由于质点初始时从原点开始以速度v沿x轴正向运动，即x = 0时，v = v0，代入上式得到C = 1/2v0^2。因此，1/2v^2 = −k/3x^3 + 1/2v0^2。
步骤 3：求解最大距离
当质点运动到最大距离时，速度v = 0。将v = 0代入上一步得到的表达式，得到0 = −k/3x^3 + 1/2v0^2。解得x^3 = 3v0^2/2k，即x = (3v0^2/2k)^(1/3)。因此，质点运动的最大距离为(3v0^2/2k)^(1/3)。
根据题目条件，质点的加速度a = −kx^2，其中k为常数。根据加速度的定义，a = dv/dt，同时根据链式法则，a = dv/dx * dx/dt = v * dv/dx。因此，可以将加速度的表达式写为v * dv/dx = −kx^2。分离变量，得到vdv = −kx^2dx。
步骤 2：积分求解
对上一步得到的表达式两边积分，得到∫vdv = ∫−kx^2dx。左边积分得到1/2v^2，右边积分得到−k/3x^3。因此，1/2v^2 = −k/3x^3 + C，其中C为积分常数。由于质点初始时从原点开始以速度v沿x轴正向运动，即x = 0时，v = v0，代入上式得到C = 1/2v0^2。因此，1/2v^2 = −k/3x^3 + 1/2v0^2。
步骤 3：求解最大距离
当质点运动到最大距离时，速度v = 0。将v = 0代入上一步得到的表达式，得到0 = −k/3x^3 + 1/2v0^2。解得x^3 = 3v0^2/2k，即x = (3v0^2/2k)^(1/3)。因此，质点运动的最大距离为(3v0^2/2k)^(1/3)。