【例2.4】(2018数一、二、三)下列函数中，在x=0处不可导的是（）A. f(x)=|x|sin|x|.B. f(x)=|x|sinsqrt(|x|).C. f(x)=cos|x|.D. f(x)=cossqrt(|x|).

考查要点：本题主要考查函数在某点的可导性判断，需要掌握导数的定义及左右导数的计算方法，尤其注意绝对值函数在分段点处的导数是否存在。

解题核心思路：

1. 导数定义：函数在$x=0$处可导的充要条件是左右导数存在且相等。
2. 分段分析：对于含绝对值的函数，需分别考虑$x>0$和$x<0$的情况，代入导数定义式计算左右极限。
3. 关键点：当函数中出现$\sqrt{|x|}$时，展开或近似时需注意符号和收敛性，可能导致左右导数不相等。

选项分析

(A) $f(x)=|x|\sin|x|$

• 导数定义：
  $f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{|h|\sin|h|}{h}$
  • 当$h \to 0^+$时，$|h|=h$，极限为$\lim_{h \to 0^+} \frac{h \sin h}{h} = 0$。
  • 当$h \to 0^-$时，$|h|=-h$，极限为$\lim_{h \to 0^-} \frac{-h \sin(-h)}{h} = 0$。
    结论：左右导数均为$0$，可导。

(B) $f(x)=|x|\sin\sqrt{|x|}$

• 导数定义：
  $f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{|h|\sin\sqrt{|h|}}{h}$
  • 当$h \to 0^+$时，$|h|=h$，极限为$\lim_{h \to 0^+} \frac{h \sin\sqrt{h}}{h} = 0$（因$\sin\sqrt{h} \sim \sqrt{h}$）。
  • 当$h \to 0^-$时，$|h|=-h$，极限为$\lim_{h \to 0^-} \frac{-h \sin\sqrt{-h}}{h} = 0$。
    结论：左右导数均为$0$，可导。

(C) $f(x)=\cos|x|$

• 导数定义：
  $f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos|h| - 1}{h}$
  • 当$h \to 0^+$时，$\cos h \sim 1 - \frac{h^2}{2}$，极限为$\lim_{h \to 0^+} \frac{-h^2/2}{h} = 0$。
  • 当$h \to 0^-$时，$\cos(-h) = \cos h \sim 1 - \frac{h^2}{2}$，极限为$\lim_{h \to 0^-} \frac{-h^2/2}{h} = 0$。
    结论：左右导数均为$0$，可导。

(D) $f(x)=\cos\sqrt{|x|}$

• 导数定义：
  $f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos\sqrt{|h|} - 1}{h}$
  • 当$h \to 0^+$时，$\cos\sqrt{h} \sim 1 - \frac{h}{2}$，极限为$\lim_{h \to 0^+} \frac{-h/2}{h} = -\frac{1}{2}$。
  • 当$h \to 0^-$时，$\cos\sqrt{-h} \sim 1 - \frac{-h}{2}$，极限为$\lim_{h \to 0^-} \frac{-(-h)/2}{h} = \frac{1}{2}$。
    结论：左右导数不相等，不可导。