题目
设函数f(u)连续,区域 = (x,y)|{x)^2+(y)^2leqslant 2y} , 则∫f(xy)dxdy等于-|||-(A) (int )_(-1)^1dx(int )_(-sqrt {1-{x)^2}}f(xy)dy. (B) (int )_(0)^2dy(int )_(0)^sqrt (2y-{y^2)}f(xy)dx.-|||-(C) (int )_(0)^pi dtheta (int )_(0)^2sin theta f((r)^2sin theta cos theta )dr.. (D) (int )_(0)^pi dtheta (int )_(0)^2sin theta f((r)^2sin theta cos theta )rdr..
题目解答
答案
最佳答案 
解析
步骤 1：确定区域D的边界
区域 $D=\{ (x,y)|{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 2y\}$ 可以通过将不等式 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 2y$ 转换为标准形式来确定。将不等式重写为 ${x}^{2}+{y}^{2}-2y\leqslant 0$，然后完成平方，得到 ${x}^{2}+(y-1)^{2}\leqslant 1$。这表示一个以 (0,1) 为圆心，半径为 1 的圆。
步骤 2：将二重积分转换为极坐标系下的积分
在极坐标系中，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$dxdy=rdrd\theta$。因此，二重积分 ${\iint }_{D}f(xy)dxdy$ 可以转换为 ${\int }_{0}^{\pi }d\theta {\int }_{0}^{2\sin \theta }f({r}^{2}\sin \theta \cos \theta )rdr$。这是因为区域D在极坐标系下的边界是 $0\leqslant r\leqslant 2\sin \theta$，$0\leqslant \theta \leqslant \pi$。
步骤 3：验证选项
选项 (A) 和 (B) 不符合极坐标系下的积分形式，因为它们没有包含 $rdrd\theta$。选项 (C) 缺少 $r$，因此也不正确。选项 (D) 正确地包含了 $rdrd\theta$，并且积分限也符合极坐标系下的区域D的边界。
区域 $D=\{ (x,y)|{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 2y\}$ 可以通过将不等式 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 2y$ 转换为标准形式来确定。将不等式重写为 ${x}^{2}+{y}^{2}-2y\leqslant 0$，然后完成平方，得到 ${x}^{2}+(y-1)^{2}\leqslant 1$。这表示一个以 (0,1) 为圆心，半径为 1 的圆。
步骤 2：将二重积分转换为极坐标系下的积分
在极坐标系中，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$dxdy=rdrd\theta$。因此，二重积分 ${\iint }_{D}f(xy)dxdy$ 可以转换为 ${\int }_{0}^{\pi }d\theta {\int }_{0}^{2\sin \theta }f({r}^{2}\sin \theta \cos \theta )rdr$。这是因为区域D在极坐标系下的边界是 $0\leqslant r\leqslant 2\sin \theta$，$0\leqslant \theta \leqslant \pi$。
步骤 3：验证选项
选项 (A) 和 (B) 不符合极坐标系下的积分形式，因为它们没有包含 $rdrd\theta$。选项 (C) 缺少 $r$，因此也不正确。选项 (D) 正确地包含了 $rdrd\theta$，并且积分限也符合极坐标系下的区域D的边界。