在平面四边形ABCD中，AB=AC=CD=1，∠ADC=30°，∠DAB=120°，将△ACD沿AC翻折至△ACP，其中P为动点．（1）设PC⊥AB，三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的球面上．（i）证明：平面PAC⊥平面ABC；（ⅱ）求球O的半径；（2）求二面角A-CP-B的余弦值的最小值．

解：（1）（i）证明：∵AC=CD=1，∠CAD=∠ADC=30°，∠BAD=120°，
∴∠BAC=90°，AB⊥AC，翻折后同样有AB⊥AC，又AB⊥PC，PC∩AC=C，
∴AB⊥平面PCA，又AB⊂平面ABC，
∴平面PAC⊥平面ABC；
（ⅱ）如图，∵△ABC的外接圆圆心O₁位于BC中点，作C关于AP的对称点O₂，

则O₂C=O₂A=O₂P=1，O₂为△ACP的外接圆圆心，
作O₁H⊥AC于H，则H为AC中点，
则O₁H⊥平面ACP，O₁H⊥O₂H，
又△O₂AC为等边三角形，∴O₂H⊥AC，
而外接球球心O，满足OO₁⊥平面ABC，OO₂⊥平面ACP，
∴OO₁=O₂H=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BO₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴球O的半径为R=$\sqrt{B{{O}_{1}}^{2}+O{{O}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
（2）以A为原点，AC所在直线为x轴，过A且垂直底面ACP的直线为z轴，建系如图：

则根据题意可得C（1，0，0），P（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），又AB=1，
∴设B（0，cosθ，sinθ），
∴$\overrightarrow{CP}=（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，0）$，$\overrightarrow{CB}=（-1，cosθ，sinθ）$，
易知平面ACP的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（0，0，1）$，
设平面BCP的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CB}=-x+ycosθ+zsinθ=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}=（-\sqrt{3}sinθ，sinθ，-（\sqrt{3}+cosθ））$，
设二面角A-CP-B的平面角为φ，易知φ为锐角，
∴cosφ=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|\sqrt{3}+cosθ|}{\sqrt{7-3co{s}^{2}θ+2\sqrt{3}cosθ}}$，
令t=cosθ+$\sqrt{3}$，则t∈[$\sqrt{3}-1$，$\sqrt{3}+1$]，
∴cosφ=$\frac{|t|}{\sqrt{-3{t}^{2}+8\sqrt{3}t-8}}$=$\frac{1}{\sqrt{-8（\frac{1}{t}-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+3}}$，
∴当$\frac{1}{t}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即cosθ=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$时，cosφ取得最小值$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二面角A-CP-B的余弦值的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．