一衍射光栅,每厘米刻有200条透光缝,每条透光缝宽为a=2×10-3cm,在光栅后放一焦距f=1m的凸透镜,现以λ=600nm的单色平行光垂直照射光栅,求:(1)透光缝a的单缝衍射中央明条纹宽度为多少?(2)在该宽度内,有几个光栅衍射主极大?

考查要点：本题综合考查单缝衍射和光栅衍射的规律，需结合两种衍射现象的特点进行分析。

解题核心思路：

1. 单缝衍射中央明纹宽度：利用单缝衍射暗纹条件，结合几何近似关系，计算中央明纹的宽度。
2. 光栅主极大数目：根据光栅方程，结合单缝衍射允许的衍射角范围，确定光栅衍射主极大的有效级数。

破题关键点：

• 单位统一：注意将透光缝宽度$a$、光波长$\lambda$等物理量的单位统一为国际单位制。
• 近似条件：当衍射角较小时，$\sin\phi \approx \tan\phi \approx \phi$，简化计算。
• 级数范围限制：光栅主极大需满足单缝衍射允许的衍射角范围，避免被单缝暗纹抑制。

第（1）题

单缝衍射暗纹条件

单缝衍射暗纹满足：
$a \sin\phi = k\lambda \quad (k=1,2,\dots)$
当$\phi$较小时，$\sin\phi \approx \tan\phi \approx \phi$，可近似为：
$a\phi \approx k\lambda$

几何关系

由透镜成像几何关系：
$\tan\phi = \frac{x}{f} \implies \phi \approx \frac{x}{f}$

联立求解

联立得：
$a \cdot \frac{x}{f} = k\lambda \implies x = \frac{k\lambda f}{a}$
取$k=1$时，单缝中央明纹的半宽度为$x = \frac{\lambda f}{a}$，总宽度为：
$\Delta x = 2x = \frac{2\lambda f}{a}$

代入数据

$a = 2 \times 10^{-5} \, \text{m}$，$\lambda = 600 \, \text{nm} = 600 \times 10^{-9} \, \text{m}$，$f = 1 \, \text{m}$，得：
$\Delta x = \frac{2 \cdot 600 \times 10^{-9} \cdot 1}{2 \times 10^{-5}} = 0.06 \, \text{m}$

第（2）题

光栅方程

光栅衍射主极大满足：
$(a+b) \sin\phi = k'\lambda \quad (k'=0, \pm1, \pm2, \dots)$
其中$a+b = d = \frac{1}{200} \, \text{cm} = 5 \times 10^{-5} \, \text{m}$。

单缝衍射限制

单缝中央明纹对应的最大衍射角为$\phi_{\text{max}} = \frac{\lambda}{a}$，代入光栅方程得：
$k' = \frac{(a+b) \sin\phi_{\text{max}}}{\lambda} = \frac{(a+b) \cdot \frac{\lambda}{a}}{\lambda} = \frac{a+b}{a} = \frac{5 \times 10^{-5}}{2 \times 10^{-5}} = 2.5$

确定有效级数

$k'$需为整数，因此有效级数为$k' = 0, \pm1, \pm2$，共5个主极大。