设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且 lim x→∞ [g(x)-φ(x)]=0，则 lim x→∞ f(x)(　　)A. 存在且等于零B. 存在但不一定为零C. 一定不存在D. 不一定存在

考查要点：本题主要考查极限的夹逼定理及其适用条件，以及如何通过构造反例判断命题的正确性。

解题核心思路：
题目给出两个函数φ(x)和g(x)，满足对任意x有φ(x) ≤ f(x) ≤ g(x)，且limₓ→∞ [g(x)−φ(x)] = 0。需要判断limₓ→∞ f(x)是否存在。
关键点在于：

1. 夹逼定理的条件：若φ(x)和g(x)的极限存在且相等，则f(x)的极限也存在且等于该值。但题目中仅给出g(x)−φ(x)的极限为0，并未保证φ(x)和g(x)的极限存在或相等。
2. 构造反例：通过构造不同的φ(x)、g(x)和f(x)，验证不同情况下f(x)的极限是否存在，从而排除错误选项，确定正确答案。

排除选项A和C

构造例子1：

• 设φ(x) = 1 − e⁻|x|，g(x) = 1 + e⁻|x|，f(x) = 1。
• 显然φ(x) ≤ f(x) ≤ g(x)对任意x成立。
• 计算limₓ→∞ [g(x)−φ(x)] = limₓ→∞ 2e⁻|x| = 0，满足条件。
• 此时limₓ→∞ f(x) = 1（存在且不为零），说明选项A（存在且等于零）和C（一定不存在）不成立。

排除选项B

构造例子2：

• 设φ(x) = eˣ − e⁻|x|，g(x) = eˣ + e⁻|x|，f(x) = eˣ。
• 显然φ(x) ≤ f(x) ≤ g(x)对任意x成立。
• 计算limₓ→∞ [g(x)−φ(x)] = limₓ→∞ 2e⁻|x| = 0，满足条件。
• 此时limₓ→∞ f(x) = limₓ→∞ eˣ = +∞（极限不存在），说明选项B（存在但不一定为零）不成立。

结论

通过上述反例可知，f(x)的极限可能存在也可能不存在，因此正确答案为D（不一定存在）。