题目
求微分方程'=2(x)^2+1的满足初始条件'=2(x)^2+1的特解
求微分方程
的满足初始条件
的特解
题目解答
答案
对于微分方程的满足初始条件的特解的求解，对于微分方程有
，即
，两边同时做积分运算即有
，即其通解为
，代入，即有
，即
故答案为微分方程的满足初始条件的特解为
，
解析
步骤 1：分离变量
对于微分方程$y'=2{x}^{2}+1$，可以写成$\dfrac {dy}{dx}=2{x}^{2}+1$，即$dy=(2{x}^{2}+1)dx$。
步骤 2：积分求通解
对等式两边同时积分，得到$\int dy=\int (2{x}^{2}+1)dx$。左边积分得到$y$，右边积分得到$\dfrac {2}{3}{x}^{3}+x+C$，其中$C$是积分常数。
步骤 3：代入初始条件求特解
将初始条件$y|x=0=1$代入通解$y=\dfrac {2}{3}{x}^{3}+x+C$，得到$1=\dfrac {2}{3}(0)^{3}+0+C$，解得$C=1$。
对于微分方程$y'=2{x}^{2}+1$，可以写成$\dfrac {dy}{dx}=2{x}^{2}+1$，即$dy=(2{x}^{2}+1)dx$。
步骤 2：积分求通解
对等式两边同时积分，得到$\int dy=\int (2{x}^{2}+1)dx$。左边积分得到$y$，右边积分得到$\dfrac {2}{3}{x}^{3}+x+C$，其中$C$是积分常数。
步骤 3：代入初始条件求特解
将初始条件$y|x=0=1$代入通解$y=\dfrac {2}{3}{x}^{3}+x+C$，得到$1=\dfrac {2}{3}(0)^{3}+0+C$，解得$C=1$。