题目
_(1)=((2,0,4))^T, _(2)=((3,8,0))^T _(3)=((0,0,0))^7是( )的. A线性相关B线性无关C线性相关性不确定
是( )
的.
A线性相关
B线性无关
C线性相关性不确定
题目解答
答案
要判断向量的线性相关性，我们可以将这些向量写成矩阵的行向量，然后求这个矩阵的秩。
构造矩阵A如下：
由于第三行全为0，这意味着矩阵A的秩小于等于2。另一方面，前两行不是倍数关系，因此它们线性无关。所以，矩阵A的秩为2。
由于矩阵A的秩小于其行数（即向量的个数），这些向量是线性相关的。
因此，答案是A线性相关。
解析
步骤 1：构造矩阵
构造一个矩阵A，其行向量分别为${a}_{1}={(2,0,4)}^{T}$，${a}_{2}={(3,8,0)}^{T}$，${a}_{3}={(0,0,0)}^{7}$。矩阵A如下：
$$
A = \begin{pmatrix}
2 & 0 & 4 \\
3 & 8 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：求矩阵的秩
由于矩阵A的第三行全为0，这意味着矩阵A的秩小于等于2。另一方面，前两行不是倍数关系，因此它们线性无关。所以，矩阵A的秩为2。
步骤 3：判断线性相关性
由于矩阵A的秩小于其行数（即向量的个数），这些向量是线性相关的。
构造一个矩阵A，其行向量分别为${a}_{1}={(2,0,4)}^{T}$，${a}_{2}={(3,8,0)}^{T}$，${a}_{3}={(0,0,0)}^{7}$。矩阵A如下：
$$
A = \begin{pmatrix}
2 & 0 & 4 \\
3 & 8 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：求矩阵的秩
由于矩阵A的第三行全为0，这意味着矩阵A的秩小于等于2。另一方面，前两行不是倍数关系，因此它们线性无关。所以，矩阵A的秩为2。
步骤 3：判断线性相关性
由于矩阵A的秩小于其行数（即向量的个数），这些向量是线性相关的。