题目

已知P为n阶 方阵且有r<n则以下说法正确的是（ ）A 任意 r 个 行向量线性无关，同时任意 r 个 列向量也线性无关B 任意 r 个 行向量线性无关C 至少有一个行向量可由其余 n - 1 行线性表出D 以上都不对

已知P为n阶 方阵且有r<n则以下说法正确的是（ ）

A 任意 r 个 行向量线性无关，同时任意 r 个 列向量也线性无关

B 任意 r 个 行向量线性无关

C 至少有一个行向量可由其余 n - 1 行线性表出

D 以上都不对

题目解答

答案

根据题目已知条件：P为n阶 方阵且有r<n

通过向量组的秩研究向量组的相关性。若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的。

故方阵P的向量组是线性相关的。

假设

则第一行与第二行线性相关，第二列与第三列线性相关，所以，并不是任意 r 个 行向量线性无关，任意 r 个 列向量也线性无关，故A，B错误。

对于所设方阵：

有两个行向量可由其余 两行线性表出

故对应n阶方阵至少有一个行向量可由其余 n - 1 行线性表出，故C正确，D错误。

故答案为：C

解析

步骤 1：理解向量组的秩与线性相关性
向量组的秩等于向量的个数时，该向量组是线性无关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的。题目中P为n阶方阵且有r
步骤 2：分析选项A和B
选项A和B都提到任意r个行向量线性无关，但根据题目条件，P的秩r
步骤 3：分析选项C
由于P的行向量组是线性相关的，因此至少有一个行向量可以由其余n-1个行向量线性表出，选项C正确。

步骤 4：分析选项D
由于选项C正确，因此选项D错误。