2.15 设系统的微分方程为-|||-dfrac ({d)^2r(t)}(d{t)^2}+2dfrac (dr(t))(dt)+r(t)=dfrac (de(t))(dt)-|||-(a)若 e(t)=g(t) ((0)^-)=1, '((0)^-)=2,-|||-(b)若 (t)=(e)^-tE(t) ((0)^-)=1, '((0)^-)=2,-|||-试分别求完全响应,并指出其零输入响应、零状态响应、自由响应与强迫响应等分-|||-量。

步骤 1：求解零输入响应
首先，我们求解零输入响应，即当输入 $e(t)=0$ 时的响应。此时，微分方程变为：
$$
\dfrac {{d}^{2}r(t)}{d{t}^{2}}+2\dfrac {dr(t)}{dt}+r(t)=0
$$
这是一个二阶齐次线性微分方程，其特征方程为：
$$
\lambda^2 + 2\lambda + 1 = 0
$$
解得特征根 $\lambda = -1$，因此零输入响应的形式为：
$$
r_{zi}(t) = (A + Bt)e^{-t}
$$
其中，$A$ 和 $B$ 是待定系数，由初始条件 $r(0^-) = 1$ 和 $r'(0^-) = 2$ 确定。

步骤 2：求解零状态响应
接下来，我们求解零状态响应，即当初始条件为零时的响应。此时，微分方程变为：
$$
\dfrac {{d}^{2}r(t)}{d{t}^{2}}+2\dfrac {dr(t)}{dt}+r(t)=\dfrac {de(t)}{dt}
$$
对于 (a) 中的 $e(t) = g(t)$，我们有：
$$
\dfrac {de(t)}{dt} = \delta(t)
$$
因此，微分方程变为：
$$
\dfrac {{d}^{2}r(t)}{d{t}^{2}}+2\dfrac {dr(t)}{dt}+r(t)=\delta(t)
$$
这是一个二阶非齐次线性微分方程，其特解形式为：
$$
r_{zs}(t) = C e^{-t}
$$
其中，$C$ 是待定系数，由初始条件 $r(0^-) = 0$ 和 $r'(0^-) = 0$ 确定。

步骤 3：求解完全响应
完全响应是零输入响应和零状态响应的叠加，即：
$$
r(t) = r_{zi}(t) + r_{zs}(t)
$$
对于 (a) 中的 $e(t) = g(t)$，我们有：
$$
r(t) = (A + Bt)e^{-t} + C e^{-t}
$$
其中，$A$、$B$ 和 $C$ 是待定系数，由初始条件 $r(0^-) = 1$ 和 $r'(0^-) = 2$ 确定。

步骤 4：求解 (b) 中的完全响应
对于 (b) 中的 $e(t) = e^{-t}g(t)$，我们有：
$$
\dfrac {de(t)}{dt} = -e^{-t}g(t) + e^{-t}\delta(t) = -e^{-t}g(t) + \delta(t)
$$
因此，微分方程变为：
$$
\dfrac {{d}^{2}r(t)}{d{t}^{2}}+2\dfrac {dr(t)}{dt}+r(t)=-e^{-t}g(t) + \delta(t)
$$
这是一个二阶非齐次线性微分方程，其特解形式为：
$$
r_{zs}(t) = D e^{-t}
$$
其中，$D$ 是待定系数，由初始条件 $r(0^-) = 0$ 和 $r'(0^-) = 0$ 确定。

步骤 5：求解 (b) 中的完全响应
完全响应是零输入响应和零状态响应的叠加，即：
$$
r(t) = r_{zi}(t) + r_{zs}(t)
$$
对于 (b) 中的 $e(t) = e^{-t}g(t)$，我们有：
$$
r(t) = (A + Bt)e^{-t} + D e^{-t}
$$
其中，$A$、$B$ 和 $D$ 是待定系数，由初始条件 $r(0^-) = 1$ 和 $r'(0^-) = 2$ 确定。