例1 求连结两点A (1,2,3)和 B(2,-1,4) 的线段的垂直-|||-平分面的方程。 :

考查要点：本题主要考查空间中垂直平分面的方程求解，涉及点到点的距离公式、平面方程的建立以及代数运算能力。

解题核心思路：
垂直平分面的定义是到两点距离相等的所有点的集合。因此，设动点$M(x,y,z)$满足$|AM|=|BM|$，通过展开并化简距离相等的方程，最终得到平面方程。

破题关键点：

1. 正确写出点$M$到$A$和$B$的距离表达式；
2. 平方消去根号后展开并整理方程；
3. 验证法向量是否与线段$AB$的方向向量一致，确保结果正确。

设动点$M(x,y,z)$在垂直平分面上，则$|AM|=|BM|$。根据距离公式：
$\sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2} = \sqrt{(x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-4)^2}$

平方两边消去根号：
$(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = (x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-4)^2$

展开并整理方程：
左边展开：
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + (z^2 - 6z + 9)$
右边展开：
$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) + (z^2 - 8z + 16)$

相减并合并同类项：
$(-2x + 4x) + (-4y - 2y) + (-6z + 8z) + (14 - 21) = 0$
化简得：
$2x - 6y + 2z - 7 = 0$

验证法向量：
线段$AB$的方向向量为$(1, -3, 1)$，平面方程的法向量为$(2, -6, 2)$，二者成比例关系，说明平面垂直于$AB$，符合垂直平分面的几何特性。