(1) ∫arctanxdx;

考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，以及对有理函数积分的处理能力。

解题核心思路：

1. 选择合适的分部积分变量：将反三角函数$\arctan x$设为$u$，剩余部分$dx$设为$dv$，利用分部积分公式展开。
2. 简化剩余积分：对分部积分后得到的$\int \frac{x}{1+x^2}dx$，通过变量替换法直接求解。

破题关键点：

• 分部积分的选择：$\arctan x$的导数为$\frac{1}{1+x^2}$，简化后续计算。
• 变量替换技巧：令$w=1+x^2$，将积分转化为基本对数积分形式。

分部积分法应用：
设$u = \arctan x$，则$du = \frac{1}{1+x^2}dx$；设$dv = dx$，则$v = x$。
根据分部积分公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，得：
$\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int x \cdot \frac{1}{1+x^2}dx.$

处理剩余积分：
对$\int \frac{x}{1+x^2}dx$，令$w = 1+x^2$，则$dw = 2x dx$，即$x dx = \frac{dw}{2}$。
代入得：
$\int \frac{x}{1+x^2}dx = \int \frac{1}{w} \cdot \frac{dw}{2} = \frac{1}{2} \ln |w| + C = \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C.$

综合结果：
将剩余积分代入分部积分结果，最终得：
$\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C.$