求不定积分int dfrac (x{e)^3x+(x)^3ln x}(x)dx.

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，涉及分式拆分、基本积分公式以及分部积分法的应用。

解题核心思路：

1. 分式拆分：将被积函数拆分为两个简单函数的和，简化积分过程。
2. 基本积分：直接计算指数函数的积分。
3. 分部积分法：对多项式与对数函数的乘积使用分部积分法，通过合理选择分部变量简化计算。

破题关键点：

• 拆分被积函数：将原式拆分为$\int e^{3x}dx$和$\int x^2 \ln x dx$。
• 分部积分的选择：在计算$\int x^2 \ln x dx$时，选择$u = \ln x$，$dv = x^2 dx$，使后续积分更易处理。

原积分拆分：
$\int \frac{x e^{3x} + x^3 \ln x}{x} dx = \int e^{3x} dx + \int x^2 \ln x dx$

计算$\int e^{3x} dx$：
令$u = 3x$，则$du = 3 dx$，即$dx = \frac{1}{3} du$，得：
$\int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C$

计算$\int x^2 \ln x dx$（分部积分法）：

1. 设分部变量：

   • $u = \ln x$，则$du = \frac{1}{x} dx$
   • $dv = x^2 dx$，则$v = \frac{1}{3} x^3$

2. 应用分部积分公式：
   $\begin{aligned}\int x^2 \ln x dx &= \frac{1}{3} x^3 \ln x - \int \frac{1}{3} x^3 \cdot \frac{1}{x} dx \\&= \frac{1}{3} x^3 \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 dx \\&= \frac{1}{3} x^3 \ln x - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C \\&= \frac{1}{3} x^3 \ln x - \frac{1}{9} x^3 + C\end{aligned}$

合并结果：
$\int \frac{x e^{3x} + x^3 \ln x}{x} dx = \frac{1}{3} e^{3x} + \frac{1}{3} x^3 \ln x - \frac{1}{9} x^3 + C$