5.[判断题]有界数列一定有极限. A 对 B 错A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查学生对有界数列与数列极限之间关系的理解，特别是对收敛数列必要条件的掌握。

解题核心思路：

1. 明确概念：有界数列是指存在某个实数$M$，使得数列所有项的绝对值均不超过$M$；数列有极限则要求当$n$趋近无穷时，数列项无限接近某个固定值。
2. 辨析关系：收敛数列必为有界数列，但有界数列不一定收敛。
3. 反例验证：通过构造典型反例（如震荡数列）说明命题不成立。

破题关键点：

• 掌握收敛数列的必要条件（有界性）与充分条件的区别。
• 理解有界性仅是收敛的必要条件而非充分条件。

判断过程：

1. 概念回顾：

   • 有界数列：存在$M>0$，使得对所有$n$，有$|a_n| \leq M$。
   • 数列收敛：存在实数$L$，使得对任意$\varepsilon>0$，存在$N$，当$n>N$时，$|a_n - L| < \varepsilon$。

2. 逻辑分析：

   • 收敛数列必定有界，但有界数列未必收敛。
   • 例如，数列$a_n = (-1)^n$是有界的（$|a_n| \leq 1$），但该数列在$-1$和$1$之间无限震荡，没有极限。

3. 结论：
   原命题“有界数列一定有极限”是错误的。