题目
极限lim _(xarrow infty )((dfrac {x)(1+x))}^5x=A.lim _(xarrow infty )((dfrac {x)(1+x))}^5x=B.lim _(xarrow infty )((dfrac {x)(1+x))}^5x=C.lim _(xarrow infty )((dfrac {x)(1+x))}^5x=D.lim _(xarrow infty )((dfrac {x)(1+x))}^5x=
极限
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
解：
求极限
的值，先看
有
而又有
由常用极限
则极限
综上，
，A选项符合；B选项不符合，C选项不符合；D选项不符合；故答案选A
解析
步骤 1：化简表达式
观察给定的极限表达式$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x}{1+x})}^{5x}$，首先将分子分母同时除以$x$，得到${(\dfrac {x}{1+x})}^{5x}={(\dfrac {1}{\dfrac {1}{x}+1})}^{5x}$。
步骤 2：进一步化简
将上一步得到的表达式进一步化简，得到${(\dfrac {1}{\dfrac {1}{x}+1})}^{5x}={(1+\dfrac {1}{x})}^{-5x}$。
步骤 3：应用常用极限
根据常用极限$\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n})}^{n}=e$，将${(1+\dfrac {1}{x})}^{-5x}$写成${[ {(1+\dfrac {1}{x})}^{x}] }^{-5}$的形式。
步骤 4：计算极限
将步骤3中的表达式代入极限$\lim _{x\rightarrow \infty }{[ {(1+\dfrac {1}{x})}^{x}] }^{-5}$，得到$\lim _{x\rightarrow \infty }{[ {(1+\dfrac {1}{x})}^{x}] }^{-5}={e}^{-5}$。
观察给定的极限表达式$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x}{1+x})}^{5x}$，首先将分子分母同时除以$x$，得到${(\dfrac {x}{1+x})}^{5x}={(\dfrac {1}{\dfrac {1}{x}+1})}^{5x}$。
步骤 2：进一步化简
将上一步得到的表达式进一步化简，得到${(\dfrac {1}{\dfrac {1}{x}+1})}^{5x}={(1+\dfrac {1}{x})}^{-5x}$。
步骤 3：应用常用极限
根据常用极限$\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n})}^{n}=e$，将${(1+\dfrac {1}{x})}^{-5x}$写成${[ {(1+\dfrac {1}{x})}^{x}] }^{-5}$的形式。
步骤 4：计算极限
将步骤3中的表达式代入极限$\lim _{x\rightarrow \infty }{[ {(1+\dfrac {1}{x})}^{x}] }^{-5}$，得到$\lim _{x\rightarrow \infty }{[ {(1+\dfrac {1}{x})}^{x}] }^{-5}={e}^{-5}$。