将长为a的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使正方形与圆的面积之和最小，问两段铁丝的长各为多少？.

考查要点：本题主要考查利用导数求函数极值的应用，涉及几何图形的周长与面积关系，以及优化问题的建模与求解。

解题核心思路：

1. 变量设定：设围成正方形的铁丝长度为$x$，则围成圆的铁丝长度为$a - x$。
2. 面积表达式：分别用$x$和$a - x$表示正方形和圆的面积，建立总面积函数$f(x)$。
3. 求导找极值：对总面积函数求导，找到临界点，并通过二阶导数验证该点是否为极小值点。
4. 结论转化：将临界点对应的$x$值转化为两段铁丝的具体长度。

破题关键点：

• 正确建立面积函数：注意正方形边长与周长的关系，以及圆半径与周长的关系。
• 导数计算的准确性：尤其注意符号处理和代数变形。
• 极值点的验证：通过二阶导数判断极值类型，确保解的合理性。

设定变量与建立面积函数

设围成正方形的铁丝长度为$x$，则围成圆的铁丝长度为$a - x$。

• 正方形面积：边长为$\dfrac{x}{4}$，面积为$\left(\dfrac{x}{4}\right)^2 = \dfrac{x^2}{16}$。
• 圆面积：圆的周长为$a - x$，半径$r = \dfrac{a - x}{2\pi}$，面积为$\pi r^2 = \pi \left(\dfrac{a - x}{2\pi}\right)^2 = \dfrac{(a - x)^2}{4\pi}$。
  总面积函数为：
  $f(x) = \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{(a - x)^2}{4\pi}$

求导找极值点

对$f(x)$求一阶导数并令其为零：
$f'(x) = \dfrac{2x}{16} - \dfrac{2(a - x)}{4\pi} = \dfrac{x}{8} - \dfrac{a - x}{2\pi} = 0$
解方程：
$\dfrac{x}{8} = \dfrac{a - x}{2\pi} \implies \pi x = 4(a - x) \implies x(\pi + 4) = 4a \implies x = \dfrac{4a}{\pi + 4}$

验证极值性质

求二阶导数：
$f''(x) = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{2\pi} > 0$
因二阶导数恒正，故$x = \dfrac{4a}{\pi + 4}$是极小值点，即面积之和最小的点。