题目
【题目】某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20m长的墙壁,问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大?
【题目】某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20m长的墙壁,问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大?
题目解答
答案
【解析】设垂直于墙的一边长为m,则平行于墙的一边长为(20-2x)m，由题意得S=x(20-2x)=2(10x-x^2) =-2(x^2-10x+25-25) =-2[(x-5)^2-25] =50-2(x-5)^2 ∴当=5时,小屋的面积最大为50平方米∴20-2*5=10m答:当长方形的宽为5m,长为10m时面积最大为50平方米。
解析
步骤 1：定义变量
设垂直于墙的一边长为 \(x\) 米，则平行于墙的一边长为 \(20 - 2x\) 米，因为总长为20米，且有两边是垂直于墙的。
步骤 2：建立面积函数
小屋的面积 \(S\) 可以表示为 \(S = x(20 - 2x)\)。
步骤 3：化简面积函数
化简得到 \(S = 20x - 2x^2\)，这是一个开口向下的二次函数，其顶点表示面积的最大值。
步骤 4：求解最大面积
二次函数 \(S = -2x^2 + 20x\) 的顶点坐标为 \((-b/2a, S(-b/2a))\)，其中 \(a = -2\)，\(b = 20\)，所以顶点的 \(x\) 坐标为 \(-20/(2*(-2)) = 5\)。将 \(x = 5\) 代入面积函数得到最大面积 \(S = 20*5 - 2*5^2 = 100 - 50 = 50\) 平方米。
设垂直于墙的一边长为 \(x\) 米，则平行于墙的一边长为 \(20 - 2x\) 米，因为总长为20米，且有两边是垂直于墙的。
步骤 2：建立面积函数
小屋的面积 \(S\) 可以表示为 \(S = x(20 - 2x)\)。
步骤 3：化简面积函数
化简得到 \(S = 20x - 2x^2\)，这是一个开口向下的二次函数，其顶点表示面积的最大值。
步骤 4：求解最大面积
二次函数 \(S = -2x^2 + 20x\) 的顶点坐标为 \((-b/2a, S(-b/2a))\)，其中 \(a = -2\)，\(b = 20\)，所以顶点的 \(x\) 坐标为 \(-20/(2*(-2)) = 5\)。将 \(x = 5\) 代入面积函数得到最大面积 \(S = 20*5 - 2*5^2 = 100 - 50 = 50\) 平方米。