题目
1. (20.0分)设L以A(-1,0),B(-3,2)及C(3,0)为顶点的三角形区域的周界沿ABCA的方向，则 intlimits_(L)(3x-y)dx+(x-2y)dy=A. -8B. 0C. 8D. 20
1. (20.0分)设L以A(-1,0),B(-3,2)及C(3,0)为顶点的三角形区域的周界沿ABCA的方向，则 $\int\limits_{L}(3x-y)dx+(x-2y)dy=$
A. -8
B. 0
C. 8
D. 20
题目解答
答案
C. 8
解析
步骤 1：应用格林定理
格林定理指出，对于一个正向、分段光滑、简单闭曲线 $L$ 和一个平面区域 $D$，如果 $L$ 是 $D$ 的边界，且 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在 $D$ 上有一阶连续偏导数，那么 \[ \int\limits_{L} P\,dx + Q\,dy = \iint\limits_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \,dA. \] 在这个问题中， $P(x,y) = 3x - y$ 和 $Q(x,y) = x - 2y$。首先，我们计算偏导数： \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = 1 \quad \text{和} \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -1. \] 因此，格林定理的被积函数为 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2. \] 所以，线积分可以转化为二重积分： \[ \int\limits_{L} (3x-y)dx + (x-2y)dy = \iint\limits_{D} 2 \,dA. \]
步骤 2：计算三角形的面积
二重积分 $\iint\limits_{D} 2 \,dA$ 等于区域 $D$ 的面积的两倍。三角形 $ABC$ 的面积 $A$ 可以使用顶点坐标公式计算： \[ A = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|, \] 其中 $(x_1, y_1) = (-1, 0)$, $(x_2, y_2) = (-3, 2)$, 和 $(x_3, y_3) = (3, 0)$。代入这些坐标，我们得到 \[ A = \frac{1}{2} \left| -1(2 - 0) + (-3)(0 - 0) + 3(0 - 2) \right| = \frac{1}{2} \left| -2 + 0 - 6 \right| = \frac{1}{2} \left| -8 \right| = \frac{1}{2} \times 8 = 4. \] 因此，二重积分的值为 \[ \iint\limits_{D} 2 \,dA = 2 \times 4 = 8. \]
步骤 3：得出线积分的值
所以，线积分的值为 \[ \int\limits_{L} (3x-y)dx + (x-2y)dy = 8. \]
格林定理指出，对于一个正向、分段光滑、简单闭曲线 $L$ 和一个平面区域 $D$，如果 $L$ 是 $D$ 的边界，且 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在 $D$ 上有一阶连续偏导数，那么 \[ \int\limits_{L} P\,dx + Q\,dy = \iint\limits_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \,dA. \] 在这个问题中， $P(x,y) = 3x - y$ 和 $Q(x,y) = x - 2y$。首先，我们计算偏导数： \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = 1 \quad \text{和} \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -1. \] 因此，格林定理的被积函数为 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2. \] 所以，线积分可以转化为二重积分： \[ \int\limits_{L} (3x-y)dx + (x-2y)dy = \iint\limits_{D} 2 \,dA. \]
步骤 2：计算三角形的面积
二重积分 $\iint\limits_{D} 2 \,dA$ 等于区域 $D$ 的面积的两倍。三角形 $ABC$ 的面积 $A$ 可以使用顶点坐标公式计算： \[ A = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|, \] 其中 $(x_1, y_1) = (-1, 0)$, $(x_2, y_2) = (-3, 2)$, 和 $(x_3, y_3) = (3, 0)$。代入这些坐标，我们得到 \[ A = \frac{1}{2} \left| -1(2 - 0) + (-3)(0 - 0) + 3(0 - 2) \right| = \frac{1}{2} \left| -2 + 0 - 6 \right| = \frac{1}{2} \left| -8 \right| = \frac{1}{2} \times 8 = 4. \] 因此，二重积分的值为 \[ \iint\limits_{D} 2 \,dA = 2 \times 4 = 8. \]
步骤 3：得出线积分的值
所以，线积分的值为 \[ \int\limits_{L} (3x-y)dx + (x-2y)dy = 8. \]