题目
21.求微分方程y"-3y'-4y=0满足y|_(x=0)=0，y'|_(x=0)=-5的特解.
21.求微分方程y"-3y'-4y=0满足y|_{x=0}=0，y'|_{x=0}=-5的特解.
题目解答
答案
为了求解微分方程 $ y'' - 3y' - 4y = 0 $ 满足初始条件 $ y|_{x=0} = 0 $ 和 $ y'|_{x=0} = -5 $ 的特解，我们按照以下步骤进行：
1. **求解特征方程：**
微分方程 $ y'' - 3y' - 4y = 0 $ 的特征方程为：
\[
r^2 - 3r - 4 = 0
\]
我们可以将这个二次方程因式分解为：
\[
(r - 4)(r + 1) = 0
\]
因此，特征方程的根为 $ r_1 = 4 $ 和 $ r_2 = -1 $。
2. **写出通解：**
由于特征方程的根是实数且不相等，微分方程的通解为：
\[
y(x) = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-x}
\]
其中 $ C_1 $ 和 $ C_2 $ 是待定常数。
3. **应用初始条件：**
首先，我们使用初始条件 $ y|_{x=0} = 0 $：
\[
y(0) = C_1 e^{0} + C_2 e^{0} = C_1 + C_2 = 0
\]
这给出了方程：
\[
C_1 + C_2 = 0 \quad \text{(1)}
\]
接下来，我们求 $ y(x) $ 的导数：
\[
y'(x) = 4C_1 e^{4x} - C_2 e^{-x}
\]
然后使用初始条件 $ y'|_{x=0} = -5 $：
\[
y'(0) = 4C_1 e^{0} - C_2 e^{0} = 4C_1 - C_2 = -5
\]
这给出了方程：
\[
4C_1 - C_2 = -5 \quad \text{(2)}
\]
4. **解方程组：**
我们现在有一个线性方程组：
\[
\begin{cases}
C_1 + C_2 = 0 \\
4C_1 - C_2 = -5
\end{cases}
\]
我们可以将方程 (1) 加到方程 (2) 上以消去 $ C_2 $：
\[
(C_1 + C_2) + (4C_1 - C_2) = 0 + (-5)
\]
简化后得到：
\[
5C_1 = -5 \implies C_1 = -1
\]
将 $ C_1 = -1 $ 代入方程 (1)：
\[
-1 + C_2 = 0 \implies C_2 = 1
\]
5. **写出特解：**
将 $ C_1 = -1 $ 和 $ C_2 = 1 $ 代入通解中，我们得到特解：
\[
y(x) = -e^{4x} + e^{-x}
\]
因此，微分方程 $ y'' - 3y' - 4y = 0 $ 满足初始条件 $ y|_{x=0} = 0 $ 和 $ y'|_{x=0} = -5 $ 的特解为：
\[
\boxed{y(x) = -e^{4x} + e^{-x}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查二阶常系数齐次微分方程的解法，包括特征方程的求解、通解的形式以及利用初始条件确定特解。
解题核心思路：
- 特征方程法：将微分方程转化为代数方程（特征方程），求解其根以确定通解形式。
- 待定系数法：通过初始条件建立方程组，解出通解中的待定常数，得到特解。
破题关键点：
- 正确写出特征方程：将微分方程中的导数项替换为对应的幂次。
- 准确求解特征根：通过因式分解或求根公式得到实根或复根。
- 代入初始条件：注意对通解及其导数分别代入初始条件，建立线性方程组求解常数。
步骤1：求解特征方程
微分方程 $y'' - 3y' - 4y = 0$ 的特征方程为：
$r^2 - 3r - 4 = 0$
因式分解得：
$(r - 4)(r + 1) = 0$
特征根为 $r_1 = 4$ 和 $r_2 = -1$。
步骤2：写出通解
由于特征根为实根且不相等，通解形式为：
$y(x) = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-x}$
步骤3：应用初始条件
-
代入 $y(0) = 0$：
$C_1 e^{0} + C_2 e^{0} = C_1 + C_2 = 0 \quad \text{(1)}$ -
求导并代入 $y'(0) = -5$：
通解的导数为：
$y'(x) = 4C_1 e^{4x} - C_2 e^{-x}$
代入初始条件：
$4C_1 e^{0} - C_2 e^{0} = 4C_1 - C_2 = -5 \quad \text{(2)}$
步骤4：解方程组
联立方程 (1) 和 (2)：
$\begin{cases}C_1 + C_2 = 0 \\4C_1 - C_2 = -5\end{cases}$
将方程 (1) 代入方程 (2)：
$4C_1 - (-C_1) = 5C_1 = -5 \implies C_1 = -1$
再由 $C_2 = -C_1$ 得 $C_2 = 1$。
步骤5：写出特解
将 $C_1 = -1$ 和 $C_2 = 1$ 代入通解：
$y(x) = -e^{4x} + e^{-x}$