(24)int sin 5xsin 7xdx -

考查要点：本题主要考查积化和差公式的应用以及三角函数积分的基本方法。

解题核心思路：
当遇到两个正弦函数的乘积积分时，直接积分较为复杂。此时需要利用积化和差公式将其转化为两个余弦函数的和或差，从而简化积分过程。关键步骤包括：

1. 应用积化和差公式将乘积形式转换为和差形式；
2. 拆分积分为两个简单余弦函数的积分；
3. 逐项积分并处理系数。

破题关键点：

• 正确应用积化和差公式，注意符号变化；
• 余弦函数的积分规则：$\int \cos(ax) dx = \frac{1}{a} \sin(ax) + C$；
• 系数的准确处理，避免计算错误。

步骤1：应用积化和差公式
根据公式 $\sin \alpha \sin \beta = \dfrac{1}{2} [\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]$，令 $\alpha = 5x$，$\beta = 7x$，得：
$\sin 5x \sin 7x = \dfrac{1}{2} [\cos(-2x) - \cos(12x)].$
由于 $\cos(-2x) = \cos 2x$，原式可化简为：
$\sin 5x \sin 7x = \dfrac{1}{2} [\cos 2x - \cos 12x].$

步骤2：拆分积分
将原积分拆分为两个余弦函数的积分：
$\int \sin 5x \sin 7x \, dx = \dfrac{1}{2} \int \cos 2x \, dx - \dfrac{1}{2} \int \cos 12x \, dx.$

步骤3：逐项积分
分别计算两个积分：

1. 第一项：$\dfrac{1}{2} \int \cos 2x \, dx = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \sin 2x = \dfrac{1}{4} \sin 2x$；
2. 第二项：$-\dfrac{1}{2} \int \cos 12x \, dx = -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{12} \sin 12x = -\dfrac{1}{24} \sin 12x$。

步骤4：合并结果
将两部分结果合并，并添加常数项 $C$：
$\int \sin 5x \sin 7x \, dx = \dfrac{1}{4} \sin 2x - \dfrac{1}{24} \sin 12x + C.$