函数z=f(x,y) 在点z=f(x,y)可微分是该函数在该点连续的（）A 充要条件 B 必要非充分条件 C 充分非必要条件 D 既非充分也非必要条件

考查要点：本题主要考查多元函数可微分与连续之间的逻辑关系，需要明确两者之间的蕴含方向及是否互为条件。

解题核心思路：

1. 可微分的定义：函数在某点可微分意味着其增量可表示为线性主部加高阶无穷小，这直接推出函数在该点连续。
2. 连续与可微的独立性：存在连续但不可微的函数实例（如$f(x,y)=|x|$在原点处），说明连续性无法保证可微分。
3. 定理关联：偏导数连续是可微分的充分条件，但题目未涉及偏导数的连续性，因此需区分条件层次。

破题关键点：

• 充分条件：可微分必然导致连续。
• 非必要条件：连续性不能反推可微分。

关键步骤分析

可微分 $\Rightarrow$ 连续

根据可微分的定义，若函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$可微分，则其全增量$\Delta z$可表示为：
$\Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o\left(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\right)$
当$\Delta x \to 0$且$\Delta y \to 0$时，线性项$A\Delta x + B\Delta y$趋于$0$，高阶无穷小项$o\left(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\right)$也趋于$0$，因此$\Delta z \to 0$，即函数在该点连续。

连续 $\nRightarrow$ 可微分

构造反例：函数$f(x,y)=|x|$在原点$(0,0)$处连续，但对$x$的偏导数不存在（因$|x|$在$x=0$处不可导），因此$f(x,y)$在原点不可微分。这说明连续性不能保证可微分。

定理补充

若函数的偏导数$\dfrac{\partial z}{\partial x}$和$\dfrac{\partial z}{\partial y}$在某点连续，则函数在该点可微分。但题目中仅讨论连续性，未涉及偏导数的连续性，因此无法由连续反推可微分。

结论

可微分是连续的充分非必要条件，对应选项C。