题目
函数f（x）=sqrt(2x-x^2)在区间[0，2]上的最大值为 ____ ．
函数f（x）=$\sqrt{2x-x^{2}}$在区间[0，2]上的最大值为 ____ ．
题目解答
答案
解：f（x）=$\sqrt{-（x-1）^{2}+1}$，
当x=1时，f（x）取得最大值1，
当x=0或x=2时，f（x）取得最小值0，
即f（x）的最大值是1，
故答案为：1．
当x=1时，f（x）取得最大值1，
当x=0或x=2时，f（x）取得最小值0，
即f（x）的最大值是1，
故答案为：1．
解析
步骤 1：确定函数的定义域
函数f（x）=$\sqrt{2x-x^{2}}$，要使函数有意义，需要满足$2x-x^{2} \geq 0$，即$x(2-x) \geq 0$。解得$0 \leq x \leq 2$，这与题目给定的区间[0，2]一致，因此函数在区间[0，2]上定义良好。
步骤 2：将函数转换为便于分析的形式
函数f（x）=$\sqrt{2x-x^{2}}$可以写为$f(x) = \sqrt{-(x^2 - 2x)} = \sqrt{-(x-1)^2 + 1}$。这表明函数f(x)是关于x=1对称的，且在x=1时达到最大值。
步骤 3：确定函数的最大值
由于$f(x) = \sqrt{-(x-1)^2 + 1}$，当$x=1$时，$-(x-1)^2$达到最大值0，因此$f(x)$达到最大值$\sqrt{1} = 1$。当$x=0$或$x=2$时，$f(x)$的值为0，因此函数的最大值为1。
函数f（x）=$\sqrt{2x-x^{2}}$，要使函数有意义，需要满足$2x-x^{2} \geq 0$，即$x(2-x) \geq 0$。解得$0 \leq x \leq 2$，这与题目给定的区间[0，2]一致，因此函数在区间[0，2]上定义良好。
步骤 2：将函数转换为便于分析的形式
函数f（x）=$\sqrt{2x-x^{2}}$可以写为$f(x) = \sqrt{-(x^2 - 2x)} = \sqrt{-(x-1)^2 + 1}$。这表明函数f(x)是关于x=1对称的，且在x=1时达到最大值。
步骤 3：确定函数的最大值
由于$f(x) = \sqrt{-(x-1)^2 + 1}$，当$x=1$时，$-(x-1)^2$达到最大值0，因此$f(x)$达到最大值$\sqrt{1} = 1$。当$x=0$或$x=2$时，$f(x)$的值为0，因此函数的最大值为1。