题目

类氢离子Li离子的业310(1)计算轨道能量,单位-|||-eV;(2)计算轨道角动量M大小?轨道磁矩大-|||-小?(3)计算Mz大小以及判断轨道角动量M和z-|||-轴的夹角大小?(4)分别有几个角节面和径向节-|||-面?

$\begin {aligned} &类氢离子Li离子的\Psi 310(1)计算轨道能量,单位\\&eV; (2)计算轨道角动量M大小?轨道磁矩大\\&小?(3)计算Mz大小以及判断轨道角动量M和z\\&轴的夹角大小?(4)分别有几个角节面和径向节\\&面? \end {aligned}$

题目解答

答案

$\begin {aligned} &要计算类氢离子 {Li}^{2+} 的 \Psi_{310} 轨道的能量\\&、角动量和其他相关量，我们可以依次进行以\\&下步骤： \\ & (1) 计算轨道能量 \\ &对于类氢离子，其能量公式为： \\ &E_n = -\frac{Z^2 \cdot R_H}{n^2} \\ &其中，Z 是原子序数，R_H 是氢原子的里德伯\\&常数（约为 13.6 eV），n 是主量子数。 \\ &对于 {Li}^{2+}，Z = 3 和 n = 3。 \\ &E_{3} = -\frac{3^2 \cdot 13.6 \, {eV}}{3^2} \\ &E_{3} = -\frac{9 \cdot 13.6 \, {eV}}{9} = -13.6 \, {eV} \\ & (2) 计算轨道角动量 M 和磁矩 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &轨道角动量的大小由公式给出： \\ &M = \sqrt{l(l+1)} \cdot \hbar \\ &其中，l 是角量子数，\hbar 是约化普朗克常数\\&（约为 1.0545718 \times 10^{-34} \, {J s}）。 \\ &对于 \Psi_{310}，我们有 l = 1。 \\ &M = \sqrt{1(1+1)} \cdot \hbar = \sqrt{2} \cdot \hbar \\ &磁矩的大小由公式给出： \\ &\mu = \frac{e}{2M} \cdot L \\ &其中，L = M 是角动量的大小，e 是电子电荷\\&（约为 1.602 \times 10^{-19} \, {C}）。 \\ &\mu = \frac{e}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \hbar \\ & (3) 计算 M_z 大小及角度 \\ &M_z 的大小由公式给出： \end {aligned}$ $\begin {aligned} &M_z = m_l \cdot \hbar \\ &其中，m_l 是磁量子数，对于 l = 1 的轨道，m_l 的\\&取值可以为 -1, 0, 1。我们选择 m_l = 1。 \\ &M_z = 1 \cdot \hbar = \hbar \\ &轨道角动量 M 和 z 轴的夹角 \theta 可以通过以下关系\\&计算： \\ &{{\cos}} \theta = \frac{M_z}{M} \\ &{{\cos}} \theta = \frac{\hbar}{\sqrt{2} \cdot \hbar} = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ &因此， \\ &\theta = {{\cos}}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^\circ \\ & (4) 角节面和径向节面数量 \\ &对于量子数 n 和 l，角节面数量由公式给出： \\ &{角节面数} = l = 1 \\ &径向节面数量由公式给出： \\ &{径向节面数} = n - l - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 \\ & 总结 \\ &1. 轨道能量：E_{3} = -13.6 \, {eV} \\ &2. 轨道角动量 M = \sqrt{2} \cdot \hbar，磁矩 \mu = \frac{e}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \\&\hbar \\ &3. M_z = \hbar，夹角 \theta = 45^\circ \\ &4. 角节面数：1，径向节面数：1 \end {aligned}$