题目
设函数 f(x)=(x-1)^2(x-4)，则（）A. x=3 是 f(x) 的极小值点B. 当 0C. 当 1D. 当 -1f(x)
设函数 $f(x)=(x-1)^{2}(x-4)$，则（）
A. $x=3$ 是 $f(x)$ 的极小值点
B. 当 $0< x< 1$ 时，$f(x)< f\left(x^{2}\right)$
C. 当 $1< x< 2$ 时，$-4< f(2x-1)< 0$
D. 当 $-1< x< 0$ 时，$f(2-x) >f(x)$
题目解答
答案
ACD
A. $x=3$ 是 $f(x)$ 的极小值点
C. 当 $1< x< 2$ 时，$-4< f(2x-1)< 0$
D. 当 $-1< x< 0$ 时，$f(2-x) >f(x)$
A. $x=3$ 是 $f(x)$ 的极小值点
C. 当 $1< x< 2$ 时，$-4< f(2x-1)< 0$
D. 当 $-1< x< 0$ 时，$f(2-x) >f(x)$
解析
题目分析
本题主要考查函数的极值点判断、函数值大小比较及函数性质应用，涉及多项式函数求导、二次函数单调性、代换法等知识。
选项A：$x=3$是$f(x)$的极小值点
步骤1：求导并找极值点
函数$f(x)=(x-1)^2(x-4)$，展开得$f(x)=x^3-6x^2+9x-4$，求导：
$f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$
步骤2：判断导数符号
- 当$x<1$或$x>3$时，$f'(x)>0$，函数单调递增；
- 当$1
$x=3$左侧递减、右侧递增，故$x=3$是极小值点。选项A正确。
选项B：当$0
步骤1：分析$0
当$0
步骤2：判断$f(x)$在$(0,1)$的单调性
由$f'(x)=3(x-1)(x-3)$，当$0
步骤3：比较$f(x)$与$f(x^2)$
因$x^2
选项C：当$1
步骤1：换元简化
令$t=2x-1$，当$1
- $f(1)=(1-1)^2(1-4)=0$；
- $f(3)=(3-1)^2(3-4)=-4$；
- $f(t)$在$(1,3)$单调递减（$f'(t)<0$），故$f(3)
选项D：当$-1
步骤1：分析$2-x$与$x$的范围
当$-1
- $f(2-x)=(2-x-1)^2(2-x-4)=(1-x)^2(-x-2)=-(1-x)^2(x+2)$，因$1-x>0$，$x+2>0$，故$f(2-x)<0$；
- $f(x)=(x-1)^2(x-4)$，$(x-1)^2>0$，$x-4<0$，故$f(x)<0$；
- 需证$f(2-x)-f(x)>0$：
[
\begin{align*}f(2-x)-f(x)&=-(1-x)^2(x+2)-(x-1)^2(x-4)\\&=(x-1)^2[-(x+2)-(x-4)]\\&=(x-1)^2(-2x+2)=2(x-1)^2(1-x)>0\end{align*}
\：计算过程中$(x-1)^2=(1-x)^2$，提取公因式后得$2(1-x)^3>0$（$1-x>0$），更简洁。
故$f(2-x)>f(x)$。选项D正确。