2.设A= (} 1& 2& 3& 4 2& 3& 4& 5 5& 4& 3& 2 ) . ,求一个可逆矩阵P,使PA为行最简形矩阵.

考查要点：本题主要考查初等行变换求行最简形矩阵以及可逆矩阵的构造方法。关键在于理解通过初等行变换将矩阵化为行最简形的同时，如何记录这些变换得到对应的可逆矩阵。

解题核心思路：

1. 构造增广矩阵$(A|E)$，将矩阵$A$与单位矩阵$E$拼接。
2. 对增广矩阵进行初等行变换，将左侧的$A$部分化为行最简形矩阵$F$。
3. 右侧的$E$部分经过相同变换后变为$P$，此时$P$即为所求的可逆矩阵，满足$PA = F$。

破题关键点：

• 初等行变换的记录：每一步变换对应一个初等矩阵，最终$P$是这些初等矩阵的乘积。
• 行最简形的判定：非零行首元素为1，且所在列其余元素为0。

步骤1：构造增广矩阵
将矩阵$A$与单位矩阵$E$拼接，得到增广矩阵：
$\left(\begin{array}{cccc|ccc}1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0 \\2 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1 & 0 \\5 & 4 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$

步骤2：初等行变换

1. $r_2 \leftarrow r_2 - 2r_1$：
   第二行变为$[0, -1, -2, -3 | -2, 1, 0]$。
2. $r_3 \leftarrow r_3 - 5r_1$：
   第三行变为$[0, -6, -12, -18 | -5, 0, 1]$。
3. $r_3 \leftarrow r_3 - 6r_2$：
   第三行变为$[0, 0, 0, 0 | 7, -6, 1]$。
4. $r_2 \leftarrow -r_2$：
   第二行变为$[0, 1, 2, 3 | 2, -1, 0]$。
5. $r_1 \leftarrow r_1 - 2r_2$：
   第一行变为$[1, 0, -1, -2 | -3, 2, 0]$。

步骤3：提取可逆矩阵$P$
变换后的增广矩阵右侧部分即为$P$：
$P = \left(\begin{array}{ccc}-3 & 2 & 0 \\2 & -1 & 0 \\7 & -6 & 1\end{array}\right)$