14.（单选题，5.0分）设向量组alpha_(1)=(1,-1,2,4),alpha_(2)=(0,3,1,2),alpha_(3)=(3,0,7,14),alpha_(4)=(1,-2,2,0),alpha_(5)=(2,1,5,10)，则该向量组的极大无关组是（）A. alpha_(1),alpha_(4),alpha_(5)B. alpha_(1),alpha_(2),alpha_(4)C. alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3)D. alpha_(1),alpha_(2),alpha_(4),alpha_(5)

本题考察向量组极大无关组的求解，核心思路是通过矩阵的初等行变换将向量组构成的矩阵化为行阶梯形，再根据行阶梯形矩阵的秩确定向量组的秩，并找出极大无关组。

步骤1：构造矩阵并作初等行变换

将向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5$作为列向量构成矩阵$A$（或行向量构成矩阵，结果一致，此处以列向量为例）：
$A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & 1 & 2 \\-1 & 3 & 0 & -2 & 1 \\2 & 1 & 7 & 2 & 5 \\4 & 2 & 14 & 0 & 10\end{pmatrix}$
对$A$作初等行变换化为行阶梯形：

1. $r_2=r_2+r_1$，$r_3=r_3-2r_1$，$r_4=r_4-4r_1$：
   $\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & 1 & 2 \\0 & 3 & 3 & -1 & 3 \\0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\0 & 2 & 2 & -4 & 2\end{pmatrix}$
2. $r_2\leftrightarrow r_3$（交换行使主元为1）：
   $\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & 1 & 2 \\0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\0 & 3 & 3 & -1 & 3 \\0 & 2 & 2 & -4 & 2\end{pmatrix}$
3. $r_3=r_3-3r_2$，$r_4=r_4-2r_2$：
   $\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & 1 & 2 \\0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\0 & 0 & 0 & -4 & 0\end{pmatrix}$
4. $r_4=r_4-4r_3$，$r_3=-r_3$：
   $\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & 1 & 2 \\0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

步骤2：分析行阶梯形矩阵

行阶梯形矩阵的非零行有3行，故向量组的秩$R(A)=3$，极大无关组含3个向量。

关键观察：

• $\alpha_3=(3,0,7,14)=3\alpha_1+\alpha_2$（第3列是第1列的3倍加第2列），故$\alpha_3$线性相关，可排除含$\alpha_3$的选项（选项A、C、D中C含$\alpha_3$，A、D待验证）。
• $\alpha_5=(2,1,5,10)=2\alpha_1+\alpha_2$（第5列是第1列的2倍加第2列），故$\alpha_5$线性相关，排除含$\alpha_5$的选项（选项A、D）。
• 剩余选项B：$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$，对应列向量线性无关（行阶梯形中第1、2、4列主元位置非零），且秩为3，是极大无关组。