要造一圆柱形油罐, 体积为V, 问底半径r和高h等于多少时, 才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？

考查要点：本题主要考查利用导数求解实际问题中的最小值问题，涉及圆柱体的体积与表面积公式的应用，以及如何通过优化变量关系找到极值点。

解题核心思路：

1. 建立目标函数：将表面积表示为单一变量（半径$r$）的函数。
2. 求导找极值：对目标函数求导，找到驻点并验证其是否为极小值。
3. 几何关系转化：通过体积公式消去变量$h$，将问题转化为单变量优化问题。

破题关键点：

• 消元法：利用体积公式$V = \pi r^2 h$，将$h$表示为$r$的函数，代入表面积公式，得到仅含$r$的表达式。
• 导数应用：通过一阶导数求驻点，二阶导数判断极值性质。
• 比例关系：最终通过代数关系得出底直径与高的比值。

建立目标函数

1. 体积公式：由$V = \pi r^2 h$，得$h = \dfrac{V}{\pi r^2}$。
2. 表面积公式：圆柱表面积$S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$。
3. 消元代入：将$h$代入表面积公式，得：
   $S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{2V}{r}$

求导找极值

1. 一阶导数：
   $S'(r) = 4\pi r - \dfrac{2V}{r^2}$
2. 求驻点：令$S'(r) = 0$，解得：
   $4\pi r = \dfrac{2V}{r^2} \implies r^3 = \dfrac{V}{2\pi} \implies r = \sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi}}$
3. 二阶导数验证：
   $S''(r) = 4\pi + \dfrac{4V}{r^3}$
   由于$r > 0$且$V > 0$，故$S''(r) > 0$，说明$r = \sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi}}$处为极小值点。

确定高与比例

1. 求高$h$：将$r = \sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi}}$代入$h = \dfrac{V}{\pi r^2}$，得：
   $h = 2r$
2. 比例关系：底直径为$2r$，高为$h = 2r$，故底直径与高的比为$2r : 2r = 1:1$。