题目
求函数 (x,y)=4(x-y)-(x)^2-(y)^2 的极值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求偏导数
首先，我们需要求出函数 $f(x,y)=4(x-y)-{x}^{2}-{y}^{2}$ 的偏导数。对于 $x$ 的偏导数，我们有：
${f}_{x}=\frac{\partial f}{\partial x}=4-2x$
对于 $y$ 的偏导数，我们有：
${f}_{y}=\frac{\partial f}{\partial y}=-4-2y$
步骤 2：求驻点
接下来，我们需要找到函数的驻点，即偏导数等于零的点。令 ${f}_{x}=0$ 和 ${f}_{y}=0$，我们得到：
$4-2x=0$ 和 $-4-2y=0$
解这两个方程，我们得到：
$x=2$ 和 $y=-2$
因此，函数的驻点为 $(2,-2)$。
步骤 3：判断极值类型
为了判断驻点 $(2,-2)$ 是极大值点、极小值点还是鞍点，我们需要计算二阶偏导数，并使用二阶偏导数的判别式。二阶偏导数为：
${f}_{xx}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x}^{2}}=-2$
${f}_{yy}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {y}^{2}}=-2$
${f}_{xy}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=0$
判别式为：
$D={f}_{xx}{f}_{yy}-{({f}_{xy})}^{2}$
将二阶偏导数代入判别式，我们得到：
$D=(-2)(-2)-{0}^{2}=4$
由于 $D>0$ 且 ${f}_{xx}<0$，根据极值的充分条件判别法，驻点 $(2,-2)$ 是极大值点。
步骤 4：计算极大值
最后，我们需要计算函数在极大值点 $(2,-2)$ 的值。将 $x=2$ 和 $y=-2$ 代入函数 $f(x,y)$，我们得到：
$f(2,-2)=4(2-(-2))-{2}^{2}-{(-2)}^{2}=8$
首先，我们需要求出函数 $f(x,y)=4(x-y)-{x}^{2}-{y}^{2}$ 的偏导数。对于 $x$ 的偏导数，我们有：
${f}_{x}=\frac{\partial f}{\partial x}=4-2x$
对于 $y$ 的偏导数，我们有：
${f}_{y}=\frac{\partial f}{\partial y}=-4-2y$
步骤 2：求驻点
接下来，我们需要找到函数的驻点，即偏导数等于零的点。令 ${f}_{x}=0$ 和 ${f}_{y}=0$，我们得到：
$4-2x=0$ 和 $-4-2y=0$
解这两个方程，我们得到：
$x=2$ 和 $y=-2$
因此，函数的驻点为 $(2,-2)$。
步骤 3：判断极值类型
为了判断驻点 $(2,-2)$ 是极大值点、极小值点还是鞍点，我们需要计算二阶偏导数，并使用二阶偏导数的判别式。二阶偏导数为：
${f}_{xx}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x}^{2}}=-2$
${f}_{yy}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {y}^{2}}=-2$
${f}_{xy}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=0$
判别式为：
$D={f}_{xx}{f}_{yy}-{({f}_{xy})}^{2}$
将二阶偏导数代入判别式，我们得到：
$D=(-2)(-2)-{0}^{2}=4$
由于 $D>0$ 且 ${f}_{xx}<0$，根据极值的充分条件判别法，驻点 $(2,-2)$ 是极大值点。
步骤 4：计算极大值
最后，我们需要计算函数在极大值点 $(2,-2)$ 的值。将 $x=2$ 和 $y=-2$ 代入函数 $f(x,y)$，我们得到：
$f(2,-2)=4(2-(-2))-{2}^{2}-{(-2)}^{2}=8$