3.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导,求证:存在 xi in (a,b), 使得 '(xi )=dfrac (f(xi )-f(a))(b-{xi )_(1)}.

步骤 1：构造辅助函数
构造辅助函数 $F(x)=(b-x)[f(x)-f(a)]$，其中 $x \in [a, b]$。这个函数在区间 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导。

步骤 2：验证辅助函数的性质
验证 $F(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的端点值。计算 $F(a)$ 和 $F(b)$：
- $F(a) = (b-a)[f(a)-f(a)] = 0$
- $F(b) = (b-b)[f(b)-f(a)] = 0$

步骤 3：应用罗尔定理
由于 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $F(a) = F(b) = 0$，根据罗尔定理，存在 $\xi \in (a, b)$，使得 $F'(\xi) = 0$。

步骤 4：计算 $F'(\xi)$
计算 $F(x)$ 的导数 $F'(x)$：
- $F'(x) = -[f(x)-f(a)] + (b-x)f'(x)$
- 令 $F'(\xi) = 0$，得到 $-(f(\xi)-f(a)) + (b-\xi)f'(\xi) = 0$
- 整理得到 $f'(\xi) = \dfrac{f(\xi)-f(a)}{b-\xi}$