63.（1.0分）函数f(x)=|x|在点x=0处连续且可导。A. 对B. 错

本题考查函数在某点处的连续性与可导性的知识点。解题思路是先根据函数连续性的定义判断函数$f(x)=\vert x\vert$在$x = 0$处是否连续，再根据函数可导性的定义判断函数$f(x)=\vert x\vert$在$x = 0$处是否可导。

1. 判断函数$f(x)=\vert x\vert$在$x = 0$处的连续性

函数$f(x)$在点$x_0$处连续的定义为$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。
已知$f(x)=\vert x\vert=\begin{cases}x, & x\geq0 \\ -x, & x\lt0\end{cases}$，则$f(0)=\vert 0\vert = 0$。
计算$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)$，当$x\to 0^+$时，$f(x)=x$，所以$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=\lim\limits_{x \to 0^+} x = 0$。
计算$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x)$，当$x\to 0^-$时，$f(x)= -x$，所以$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x)=\lim\limits_{x \to 0^-} (-x) = 0$。
因为$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=\lim\limits_{x \to 0^-} f(x)=0=f(0)$，所以$\lim\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)$，函数$f(x)=\vert x\vert$在$x = 0$处连续。

2. 判断函数$f(x)=\vert x\vert$在$x = 0$处的可导性

函数$f(x)$在点$x_0$处可导的定义为$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$存在，即左导数$f^\prime_-(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$和右导数$f^\prime_+(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$都存在且相等。
计算右导数$f^\prime_+(0)$：
$f^\prime_+(0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{\vert \Delta x\vert - 0}{\Delta x}$，当$\Delta x\to 0^+$时，$\vert \Delta x\vert = \Delta x$，则$f^\prime_+(0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x}{\Delta x}=1$。
计算左导数$f^\prime_-(0)$：
$f^\prime_-(0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{\vert \Delta x\vert - 0}{\Delta x}$，当$\Delta x\to 0^-$时，$\vert \Delta x\vert = -\Delta x$，则$f^\prime_-(0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1$。
因为$f^\prime_+(0)=1\neq f^\prime_-(0)= -1$，所以函数$f(x)=\vert x\vert$在$x = 0$处不可导。

综上，函数$f(x)=\vert x\vert$在点$x = 0$处连续但不可导，所以该命题错误。