设方阵A满足 ^2-A-2E=0, 证明A及 A+2E 都可逆,并-|||-求它们的逆矩阵。

考查要点：本题主要考查矩阵方程的应用及逆矩阵的求解方法，需要利用矩阵方程变形，结合逆矩阵的定义进行推导。

解题核心思路：

1. 利用矩阵方程变形：将已知方程 $A^2 - A - 2E = 0$ 转化为包含 $E$ 的表达式，从而构造出 $A$ 或 $A+2E$ 的逆矩阵。
2. 逆矩阵的定义：若存在矩阵 $B$ 使得 $AB = E$，则 $B$ 是 $A$ 的逆矩阵。
3. 待定系数法：假设逆矩阵为关于 $A$ 的线性组合，代入方程解出系数。

破题关键点：

• 对 $A$ 的处理：通过方程变形直接得到 $A^{-1}$ 的表达式。
• 对 $A+2E$ 的处理：通过假设逆矩阵形式，代入方程解出系数。

证明 $A$ 可逆并求 $A^{-1}$

1. 方程变形：
   由 $A^2 - A - 2E = 0$，得 $A^2 - A = 2E$，进一步整理为：
   $A(A - E) = 2E.$
   两边同时乘以 $\frac{1}{2}$，得：
   $A \cdot \frac{1}{2}(A - E) = E.$
   根据逆矩阵的定义，$\frac{1}{2}(A - E)$ 是 $A$ 的逆矩阵，即：
   $A^{-1} = \frac{1}{2}(A - E).$

证明 $A+2E$ 可逆并求 $(A+2E)^{-1}$

1. 假设逆矩阵形式：
   设 $(A+2E)^{-1} = aA + bE$，其中 $a, b$ 为待定系数。

2. 代入验证：
   $(A+2E)(aA + bE) = aA^2 + (2a + b)A + 2bE.$
   利用原方程 $A^2 = A + 2E$，代入得：
   $a(A + 2E) + (2a + b)A + 2bE = (3a + b)A + (2a + 2b)E.$
   根据逆矩阵定义，上式应等于 $E$，因此：
   $\begin{cases} 3a + b = 0, \\ 2a + 2b = 1. \end{cases}$
   解得 $a = -\frac{1}{4}$，$b = \frac{3}{4}$，故：
   $(A+2E)^{-1} = -\frac{1}{4}(A - 3E).$