题目
设方阵A满足 ^2-A-2E=0, 证明A及 A+2E 都可逆,并-|||-求它们的逆矩阵。
题目解答
答案
证明过程见分析；A的逆矩阵为
A+2E的逆矩阵为
A+2E的逆矩阵为解析
步骤 1：证明A可逆
由已知条件 ${A}^{2}-A-2E=0$，可以改写为 ${A}^{2}-A=2E$。进一步可以写为 $A(A-E)=2E$。由此可以看出，$A$ 与 $(A-E)$ 的乘积为 $2E$，即 $A$ 与 $(A-E)$ 的乘积为一个非零常数倍的单位矩阵。因此，$A$ 可逆，且其逆矩阵为 $(1/2)(A-E)$。
步骤 2：证明A+2E可逆
由已知条件 ${A}^{2}-A-2E=0$，可以改写为 ${A}^{2}-A=2E$。进一步可以写为 $A(A-E)=2E$。由此可以看出，$A$ 与 $(A-E)$ 的乘积为 $2E$。将 $A$ 用 $A+2E$ 替换，得到 $(A+2E)(A-E-2E)=2E$，即 $(A+2E)(A-3E)=2E$。由此可以看出，$A+2E$ 与 $(A-3E)$ 的乘积为 $2E$，即 $A+2E$ 与 $(A-3E)$ 的乘积为一个非零常数倍的单位矩阵。因此，$A+2E$ 可逆，且其逆矩阵为 $(-1/4)(A-3E)$。
由已知条件 ${A}^{2}-A-2E=0$，可以改写为 ${A}^{2}-A=2E$。进一步可以写为 $A(A-E)=2E$。由此可以看出，$A$ 与 $(A-E)$ 的乘积为 $2E$，即 $A$ 与 $(A-E)$ 的乘积为一个非零常数倍的单位矩阵。因此，$A$ 可逆，且其逆矩阵为 $(1/2)(A-E)$。
步骤 2：证明A+2E可逆
由已知条件 ${A}^{2}-A-2E=0$，可以改写为 ${A}^{2}-A=2E$。进一步可以写为 $A(A-E)=2E$。由此可以看出，$A$ 与 $(A-E)$ 的乘积为 $2E$。将 $A$ 用 $A+2E$ 替换，得到 $(A+2E)(A-E-2E)=2E$，即 $(A+2E)(A-3E)=2E$。由此可以看出，$A+2E$ 与 $(A-3E)$ 的乘积为 $2E$，即 $A+2E$ 与 $(A-3E)$ 的乘积为一个非零常数倍的单位矩阵。因此，$A+2E$ 可逆，且其逆矩阵为 $(-1/4)(A-3E)$。