题目
设 L 是上半圆周 y=sqrt(2x-x^2) 上从点 (0,0) 到点 (1,1) 的圆弧，则曲线积分 int_(L) (x^2 + y), dx + (x + sin^2 y), dy:A. (1)/(3) - (1)/(2) sin 2B. (5)/(6) - (1)/(4) sin 2C. (5)/(6) + (1)/(2) sin 2D. (11)/(6) - (1)/(4) sin 2
设 $L$ 是上半圆周 $y=\sqrt{2x-x^2}$ 上从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ 的圆弧，则曲线积分 $\int_{L} (x^2 + y)\, dx + (x + \sin^2 y)\, dy$:
A. $\frac{1}{3} - \frac{1}{2} \sin 2$
B. $\frac{5}{6} - \frac{1}{4} \sin 2$
C. $\frac{5}{6} + \frac{1}{2} \sin 2$
D. $\frac{11}{6} - \frac{1}{4} \sin 2$
题目解答
答案
D. $\frac{11}{6} - \frac{1}{4} \sin 2$
解析
步骤 1：构造闭合路径
将曲线 $L$ 与直线段 $L_1$（从 $(1,1)$ 到 $(0,0)$）构成闭合路径，由格林定理知闭合路径积分为零。
步骤 2：计算直线段 $L_1$ 的积分
直线段 $L_1$ 参数为 $y = x$，从 $x=1$ 到 $x=0$，则 \[ \int_{L_1} (x^2 + y)dx + (x + \sin^2 y)dy = \int_1^0 (x^2 + 2x + \sin^2 x)dx = -\int_0^1 (x^2 + 2x + \sin^2 x)dx. \]
步骤 3：计算积分
计算得 \[ \int_0^1 x^2dx = \frac{1}{3}, \quad \int_0^1 2xdx = 1, \quad \int_0^1 \sin^2 xdx = \frac{1}{2} - \frac{\sin 2}{4}, \] 相加得 \[ \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{2} - \frac{\sin 2}{4} = \frac{11}{6} - \frac{\sin 2}{4}. \]
步骤 4：确定原积分值
因此，原积分值为 $\frac{11}{6} - \frac{\sin 2}{4}$。
将曲线 $L$ 与直线段 $L_1$（从 $(1,1)$ 到 $(0,0)$）构成闭合路径，由格林定理知闭合路径积分为零。
步骤 2：计算直线段 $L_1$ 的积分
直线段 $L_1$ 参数为 $y = x$，从 $x=1$ 到 $x=0$，则 \[ \int_{L_1} (x^2 + y)dx + (x + \sin^2 y)dy = \int_1^0 (x^2 + 2x + \sin^2 x)dx = -\int_0^1 (x^2 + 2x + \sin^2 x)dx. \]
步骤 3：计算积分
计算得 \[ \int_0^1 x^2dx = \frac{1}{3}, \quad \int_0^1 2xdx = 1, \quad \int_0^1 \sin^2 xdx = \frac{1}{2} - \frac{\sin 2}{4}, \] 相加得 \[ \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{2} - \frac{\sin 2}{4} = \frac{11}{6} - \frac{\sin 2}{4}. \]
步骤 4：确定原积分值
因此，原积分值为 $\frac{11}{6} - \frac{\sin 2}{4}$。