题目
每枪射击同一目标的击中率为0.4,至少要射击()枪,才能使目标被击中的概率大于0.9?
每枪射击同一目标的击中率为0.4,至少要射击()枪,才能使目标被击中的概率大于0.9?
题目解答
答案
设n枪射击命中目标为事件A,其对立事件
为没有命中目标，即n枪射击都没有击中目标.
∵
∴
由两边取对数可得
∴n取5.
解析
步骤 1：定义事件
设n枪射击命中目标为事件A，其对立事件$\overline{A}$为没有命中目标，即n枪射击都没有击中目标。
步骤 2：计算事件A的概率
事件A的概率$P(A)$等于1减去事件$\overline{A}$的概率，即$P(A) = 1 - P(\overline{A})$。由于每枪射击的击中率为0.4，那么每枪射击的未击中率为$1 - 0.4 = 0.6$。因此，n枪射击都没有击中目标的概率为$P(\overline{A}) = {(1-0.4)}^{n} = {(0.6)}^{n}$。
步骤 3：求解n的最小值
根据题意，$P(A) \geqslant 0.9$，即$1 - {(0.6)}^{n} \geqslant 0.9$。解这个不等式，得到${(0.6)}^{n} \leqslant 0.1$。取对数求解n的最小值，即$n \geqslant \frac{\log(0.1)}{\log(0.6)}$。计算得到$n \geqslant 4.50757$。由于n必须是整数，所以n的最小值为5。
设n枪射击命中目标为事件A，其对立事件$\overline{A}$为没有命中目标，即n枪射击都没有击中目标。
步骤 2：计算事件A的概率
事件A的概率$P(A)$等于1减去事件$\overline{A}$的概率，即$P(A) = 1 - P(\overline{A})$。由于每枪射击的击中率为0.4，那么每枪射击的未击中率为$1 - 0.4 = 0.6$。因此，n枪射击都没有击中目标的概率为$P(\overline{A}) = {(1-0.4)}^{n} = {(0.6)}^{n}$。
步骤 3：求解n的最小值
根据题意，$P(A) \geqslant 0.9$，即$1 - {(0.6)}^{n} \geqslant 0.9$。解这个不等式，得到${(0.6)}^{n} \leqslant 0.1$。取对数求解n的最小值，即$n \geqslant \frac{\log(0.1)}{\log(0.6)}$。计算得到$n \geqslant 4.50757$。由于n必须是整数，所以n的最小值为5。