2.曲线r=2acostheta所围图形的面积A=____。A. int_(0)^(pi)/(2)(1)/(2)(2acostheta)^2dthetaB. int_(-pi)^pi(1)/(2)(2acostheta)^2dthetaC. int_(0)^2pi(1)/(2)(2acostheta)^2dthetaD. 2int_(0)^2pi(1)/(2)(2acostheta)^2dtheta

本题考查极坐标下曲线所围图形面积的计算。解题思路是先明确极坐标下求曲线所围图形面积的公式，再分析曲线$r = 2a\cos\theta$的特点，确定积分区间，最后得出面积的积分表达式。

步骤一：明确极坐标下求面积的公式

在极坐标中，由曲线$r = r(\theta)$及射线$\theta=\alpha$，$\theta = \beta$所围成的曲边扇形的面积公式为$A=\int_{\alpha}^{\beta}\frac{1}{2}r^{2}(\theta)d\theta$。

步骤二：分析曲线$r = 2a\cos\theta$的特点

已知曲线方程$r = 2a\cos\theta$，两边同时乘以$r$可得$r^{2}=2ar\cos\theta$。
根据极坐标与直角坐标的转换关系$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$r^{2}=x^{2}+y^{2}$，则$x^{2}+y^{2}=2ax$，进一步变形为$(x - a)^{2}+y^{2}=a^{2}$，这表示一个圆心为$(a,0)$，半径为$\vert a\vert$的圆。
当$\theta$从$0$变化到$\pi$时，曲线刚好描绘出整个圆。

步骤三：计算曲线所围图形的面积

将$r = 2a\cos\theta$代入面积公式$A=\int_{\alpha}^{\beta}\frac{1}{2}r^{2}(\theta)d\theta$，此时$\alpha = 0$，$\beta=\pi$，可得：
$A=\int_{0}^{\pi}\frac{1}{2}(2a\cos\theta)^{2}d\theta$
由于圆关于$x$轴对称，我们也可以通过计算$\theta$从$0$到$2\pi$的一半来得到整个圆的面积，即：
$A = 2\int_{0}^{\pi}\frac{1}{2}(2a\cos\theta)^{2}d\theta$
而选项中是$2\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}(2a\cos\theta)^{2}d\theta$，虽然积分区间是$[0,2\pi]$，但因为$r = 2a\cos\theta$在$[\pi,2\pi]$上与$[0,\pi]$上的图形是重合的，所以$2\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}(2a\cos\theta)^{2}d\theta$同样可以表示该圆的面积。