7.（5.0分）lim_(ntoinfty)(n!)/(n^n)=A. 1B. (1)/(2)C. eD. 0

考查要点：本题主要考查阶乘函数与指数函数的增长速率比较，以及斯特林公式（Stirling's approximation）的应用。

解题核心思路：

1. 斯特林公式是解决阶乘相关极限问题的常用工具，其近似形式为 $n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$。
2. 将斯特林公式代入原式后，分子和分母中的 $n^n$ 可以约简，剩余部分为 $\sqrt{2\pi n} \left(\frac{1}{e}\right)^n$。
3. 指数函数 $\left(\frac{1}{e}\right)^n$ 的衰减速度远快于多项式增长 $\sqrt{2\pi n}$，因此整体极限为0。

破题关键点：

• 正确应用斯特林公式简化阶乘表达式。
• 分析剩余部分中指数衰减与多项式增长的相互作用。

步骤1：应用斯特林公式近似阶乘
斯特林公式为：
$n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$
将其代入原式：
$\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n}{n^n}$

步骤2：约简表达式
分子和分母中的 $n^n$ 约简后，得到：
$\lim_{n\to\infty}\sqrt{2\pi n} \left(\frac{1}{e}\right)^n$

步骤3：分析极限趋势

• $\sqrt{2\pi n}$ 随 $n$ 增大而趋向于无穷大，但 $\left(\frac{1}{e}\right)^n$ 是指数级衰减（底数 $\frac{1}{e} < 1$）。
• 指数衰减的速度远快于多项式增长，因此整体极限为0。