题目
设为圆周 , 则第一类曲线积分 = ( )A. B. C. D.
设
为圆周
, 则第一类曲线积分 
= ( )
A. 
B. 
C. 
D. 
题目解答
答案
首先，给定的圆方程为，其半径
。
对于第一类曲线积分
，其中 是给定的曲线，
是被积函数，
是弧长微元。
由于
，并且，所以
是一个常数。
对于圆，其周长
为
。
因此，第一类曲线积分
可以简化为：
故答案为：C. 。
解析
步骤 1：确定圆的半径
给定的圆方程为${x}^{2}+{y}^{2}=4$，其半径$r=\sqrt{4}=2$。
步骤 2：确定被积函数
对于第一类曲线积分${\int }_{L}^{f}f(x,y)ds$，其中 是给定的曲线，f(x,y)是被积函数，ds是弧长微元。
由于$f(x,y)={({x}^{2}+{y}^{2})}^{2022}$，并且${x}^{2}+{y}^{2}=4$，所以$f(x,y)={4}^{2022}$是一个常数。
步骤 3：计算圆的周长
对于圆${x}^{2}+{y}^{2}=4$，其周长为$2\pi r=4\pi $。
步骤 4：计算第一类曲线积分
因此，第一类曲线积分${\int }_{I}^{{({x}^{2}+{y}^{2})}^{2022}}ds$可以简化为：
${4}^{2022}\times C={4}^{2022}\times 4\pi ={2}^{4044}\times 4\pi ={2}^{4046}\pi $
给定的圆方程为${x}^{2}+{y}^{2}=4$，其半径$r=\sqrt{4}=2$。
步骤 2：确定被积函数
对于第一类曲线积分${\int }_{L}^{f}f(x,y)ds$，其中 是给定的曲线，f(x,y)是被积函数，ds是弧长微元。
由于$f(x,y)={({x}^{2}+{y}^{2})}^{2022}$，并且${x}^{2}+{y}^{2}=4$，所以$f(x,y)={4}^{2022}$是一个常数。
步骤 3：计算圆的周长
对于圆${x}^{2}+{y}^{2}=4$，其周长为$2\pi r=4\pi $。
步骤 4：计算第一类曲线积分
因此，第一类曲线积分${\int }_{I}^{{({x}^{2}+{y}^{2})}^{2022}}ds$可以简化为：
${4}^{2022}\times C={4}^{2022}\times 4\pi ={2}^{4044}\times 4\pi ={2}^{4046}\pi $