题目
.1-24 一质点沿半径为R的圆周按规律 =(v)_(0)t-dfrac (1)(2)b(t)^2 运动,式中v0、b都是-|||-常量.(1)求t时刻质点的总加速度;(2)t为何值时总加速度在数值上等于b?-|||-(3)当加速度达到b时,质点已沿圆周运行了多少圈?
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算质点的速度
质点的速度 $v$ 可以通过求解位移 $s$ 对时间 $t$ 的导数得到。根据题目给出的位移公式 $s={v}_{0}t-\dfrac {1}{2}b{t}^{2}$，我们有：
$v=\dfrac {ds}{dt}={v}_{0}-bt$
步骤 2：计算加速度的切向分量和法向分量
加速度的切向分量 $a_1$ 可以通过求解速度 $v$ 对时间 $t$ 的导数得到，即：
$a_1=\dfrac {dv}{dt}=-b$
加速度的法向分量 $a_n$ 可以通过公式 $a_n=\dfrac {v^2}{R}$ 计算，其中 $v$ 是质点的速度，$R$ 是圆周的半径。将步骤 1 中得到的速度代入，我们有：
$a_n=\dfrac {({v}_{0}-bt)^2}{R}$
步骤 3：计算总加速度
总加速度 $a$ 可以通过公式 $a=\sqrt{a_1^2+a_n^2}$ 计算，将步骤 2 中得到的切向分量和法向分量代入，我们有：
$a=\sqrt{(-b)^2+\left(\dfrac {({v}_{0}-bt)^2}{R}\right)^2}$
步骤 4：求解总加速度等于 $b$ 时的时间 $t$
根据题目要求，当总加速度 $a=b$ 时，我们有：
$b=\sqrt{(-b)^2+\left(\dfrac {({v}_{0}-bt)^2}{R}\right)^2}$
解这个方程，我们得到：
$t=\dfrac {v_0}{b}$
步骤 5：计算质点运行的圈数
当加速度达到 $b$ 时，质点已经运行的时间为 $t=\dfrac {v_0}{b}$，此时质点的位移为：
$s=\dfrac {v_0^2}{2b}$
质点运行的圈数 $n$ 可以通过公式 $n=\dfrac {s}{2\pi R}$ 计算，将步骤 5 中得到的位移代入，我们有：
$n=\dfrac {v_0^2}{4\pi bR}$
质点的速度 $v$ 可以通过求解位移 $s$ 对时间 $t$ 的导数得到。根据题目给出的位移公式 $s={v}_{0}t-\dfrac {1}{2}b{t}^{2}$，我们有：
$v=\dfrac {ds}{dt}={v}_{0}-bt$
步骤 2：计算加速度的切向分量和法向分量
加速度的切向分量 $a_1$ 可以通过求解速度 $v$ 对时间 $t$ 的导数得到，即：
$a_1=\dfrac {dv}{dt}=-b$
加速度的法向分量 $a_n$ 可以通过公式 $a_n=\dfrac {v^2}{R}$ 计算，其中 $v$ 是质点的速度，$R$ 是圆周的半径。将步骤 1 中得到的速度代入，我们有：
$a_n=\dfrac {({v}_{0}-bt)^2}{R}$
步骤 3：计算总加速度
总加速度 $a$ 可以通过公式 $a=\sqrt{a_1^2+a_n^2}$ 计算，将步骤 2 中得到的切向分量和法向分量代入，我们有：
$a=\sqrt{(-b)^2+\left(\dfrac {({v}_{0}-bt)^2}{R}\right)^2}$
步骤 4：求解总加速度等于 $b$ 时的时间 $t$
根据题目要求，当总加速度 $a=b$ 时，我们有：
$b=\sqrt{(-b)^2+\left(\dfrac {({v}_{0}-bt)^2}{R}\right)^2}$
解这个方程，我们得到：
$t=\dfrac {v_0}{b}$
步骤 5：计算质点运行的圈数
当加速度达到 $b$ 时，质点已经运行的时间为 $t=\dfrac {v_0}{b}$，此时质点的位移为：
$s=\dfrac {v_0^2}{2b}$
质点运行的圈数 $n$ 可以通过公式 $n=\dfrac {s}{2\pi R}$ 计算，将步骤 5 中得到的位移代入，我们有：
$n=\dfrac {v_0^2}{4\pi bR}$