例5 (人教九上P 49问题改编)从地面竖直向上抛出-|||-一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间-|||-t(单位:s)之间的关系式是 =30t-5(t)^2(0leqslant tleqslant 6). 则-|||-小球运动时间是 __ s时,此时小球最高,最大-|||-高度为 __ m.

考查要点：本题主要考查二次函数的实际应用，特别是利用二次函数的顶点坐标求解最大值问题。需要学生掌握二次函数的顶点公式或配方法，理解物理运动学中竖直上抛运动的数学模型。

解题核心思路：
题目给出小球高度与时间的二次函数关系式 $h=30t-5t^2$，需找到抛物线的顶点坐标。关键点在于确定二次函数的顶点横坐标（对应时间）和纵坐标（对应最大高度）。可通过顶点公式 $t = -\frac{b}{2a}$ 直接计算，或通过配方法将函数化为顶点式。

破题关键：

1. 识别二次函数开口方向（由二次项系数为负，确定存在最高点）。
2. 正确应用顶点公式或配方法求解顶点坐标。
3. 验证结果是否在题目给定的时间范围内（$0 \leq t \leq 6$）。

方法一：顶点公式法

二次函数的一般形式为 $h = at^2 + bt + c$，其中 $a = -5$，$b = 30$。
顶点横坐标为：
$t = -\frac{b}{2a} = -\frac{30}{2 \times (-5)} = 3 \, \text{s}$
将 $t = 3$ 代入原式求最大高度：
$h = 30 \times 3 - 5 \times 3^2 = 90 - 45 = 45 \, \text{m}$

方法二：配方法

将原式变形为顶点式：
$h = -5t^2 + 30t = -5(t^2 - 6t)$
配方：
$t^2 - 6t = (t - 3)^2 - 9$
代入得：
$h = -5\left[(t - 3)^2 - 9\right] = -5(t - 3)^2 + 45$
由此可知，当 $t = 3$ 时，$h_{\text{最大}} = 45$。

方法三：物理运动学公式（拓展）

由竖直上抛运动公式：

• 初速度 $v_0 = 30 \, \text{m/s}$（对应 $h = v_0 t$ 的系数），重力加速度 $g = 10 \, \text{m/s}^2$（对应 $\frac{1}{2}g = 5$）。
• 上升时间 $t = \frac{v_0}{g} = \frac{30}{10} = 3 \, \text{s}$。
• 最大高度 $h = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{30^2}{2 \times 10} = 45 \, \text{m}$。