题目
函数项级数 sum_(n=0)^infty(-1)^nx^n=1-x+x^2+...+(-1)^nx^n+... 的收敛域为(）A. x in (-infty, +infty).B. x in (-1, 1).C. x in [-1, 1).D. x in [-1, 1].
函数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}=1-x+x^2+\cdots+(-1)^{n}x^{n}+\cdots$ 的收敛域为(）
A. $x \in (-\infty, +\infty)$.
B. $x \in (-1, 1)$.
C. $x \in [-1, 1)$.
D. $x \in [-1, 1]$.
题目解答
答案
B. $x \in (-1, 1)$.
解析
步骤 1：识别级数类型
级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}$ 是一个等比级数，其中首项 $a_0 = 1$，公比 $r = -x$。
步骤 2：应用等比级数收敛条件
等比级数 $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ 收敛的条件是 $|r| < 1$。因此，对于级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}$，收敛条件是 $|-x| < 1$，即 $|x| < 1$。
步骤 3：确定收敛域
根据收敛条件 $|x| < 1$，级数的收敛域为 $(-1, 1)$。接下来，检查端点 $x = \pm 1$ 的情况。
- 当 $x = 1$ 时，级数变为 $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n$，这是一个发散的级数。
- 当 $x = -1$ 时，级数变为 $\sum_{n=0}^{\infty} 1$，这也是一个发散的级数。
因此，级数的收敛域为 $(-1, 1)$，不包括端点。
级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}$ 是一个等比级数，其中首项 $a_0 = 1$，公比 $r = -x$。
步骤 2：应用等比级数收敛条件
等比级数 $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ 收敛的条件是 $|r| < 1$。因此，对于级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}$，收敛条件是 $|-x| < 1$，即 $|x| < 1$。
步骤 3：确定收敛域
根据收敛条件 $|x| < 1$，级数的收敛域为 $(-1, 1)$。接下来，检查端点 $x = \pm 1$ 的情况。
- 当 $x = 1$ 时，级数变为 $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n$，这是一个发散的级数。
- 当 $x = -1$ 时，级数变为 $\sum_{n=0}^{\infty} 1$，这也是一个发散的级数。
因此，级数的收敛域为 $(-1, 1)$，不包括端点。