题目
计算int dfrac (1)(x+sqrt {1-{x)^2}}dx ,计算过程及答案请拍照上传
计算
,计算过程及答案请拍照上传
题目解答
答案
，其中存在
，考虑令x=sin（t），原式等于
令
可得A+B=1;A-B=0
故
原式=
再将t=arcsinx代入可得sint=x,
积分如下：
解析
步骤 1：变量替换
令$x = \sin(t)$，则$dx = \cos(t)dt$，且$\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2(t)} = \cos(t)$。因此，原积分变为
$$\int \dfrac{\cos(t)}{\sin(t) + \cos(t)}dt$$
步骤 2：分式分解
将分式分解为两个部分，使得分子可以被分母的线性组合表示。设
$$\dfrac{\cos(t)}{\sin(t) + \cos(t)} = \dfrac{A(\sin(t) + \cos(t)) + B(\cos(t) - \sin(t))}{\sin(t) + \cos(t)}$$
其中$A$和$B$是待定系数。通过比较分子，可以得到
$$A + B = 1$$
$$A - B = 0$$
解这个方程组，得到$A = B = \dfrac{1}{2}$。
步骤 3：积分计算
将$A$和$B$的值代入，原积分变为
$$\int \dfrac{\dfrac{1}{2}(\sin(t) + \cos(t)) + \dfrac{1}{2}(\cos(t) - \sin(t))}{\sin(t) + \cos(t)}dt = \int \dfrac{1}{2}dt + \int \dfrac{\cos(t) - \sin(t)}{2(\sin(t) + \cos(t))}dt$$
第一项积分直接得到$\dfrac{1}{2}t$，第二项积分通过换元法得到$-\dfrac{1}{2}\ln|\sin(t) + \cos(t)|$。因此，原积分变为
$$\dfrac{1}{2}t - \dfrac{1}{2}\ln|\sin(t) + \cos(t)| + C$$
步骤 4：变量还原
将$t = \arcsin(x)$代入，得到
$$\dfrac{1}{2}\arcsin(x) - \dfrac{1}{2}\ln|x + \sqrt{1 - x^2}| + C$$
令$x = \sin(t)$，则$dx = \cos(t)dt$，且$\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2(t)} = \cos(t)$。因此，原积分变为
$$\int \dfrac{\cos(t)}{\sin(t) + \cos(t)}dt$$
步骤 2：分式分解
将分式分解为两个部分，使得分子可以被分母的线性组合表示。设
$$\dfrac{\cos(t)}{\sin(t) + \cos(t)} = \dfrac{A(\sin(t) + \cos(t)) + B(\cos(t) - \sin(t))}{\sin(t) + \cos(t)}$$
其中$A$和$B$是待定系数。通过比较分子，可以得到
$$A + B = 1$$
$$A - B = 0$$
解这个方程组，得到$A = B = \dfrac{1}{2}$。
步骤 3：积分计算
将$A$和$B$的值代入，原积分变为
$$\int \dfrac{\dfrac{1}{2}(\sin(t) + \cos(t)) + \dfrac{1}{2}(\cos(t) - \sin(t))}{\sin(t) + \cos(t)}dt = \int \dfrac{1}{2}dt + \int \dfrac{\cos(t) - \sin(t)}{2(\sin(t) + \cos(t))}dt$$
第一项积分直接得到$\dfrac{1}{2}t$，第二项积分通过换元法得到$-\dfrac{1}{2}\ln|\sin(t) + \cos(t)|$。因此，原积分变为
$$\dfrac{1}{2}t - \dfrac{1}{2}\ln|\sin(t) + \cos(t)| + C$$
步骤 4：变量还原
将$t = \arcsin(x)$代入，得到
$$\dfrac{1}{2}\arcsin(x) - \dfrac{1}{2}\ln|x + \sqrt{1 - x^2}| + C$$