题目
设函数f(x)在 (-infty ,+infty ) 上具有二阶导数,且 ''(x)gt 0,-|||-lim _(xarrow infty )f'(x)=agt 0 , lim _(xarrow +infty )f'(x)=beta lt 0, 且存在一点x0,使得 ((x)_(0))lt 0. 证明:方程-|||-f(x)=0 在 (-infty ,+infty ) 恰有两个实根.
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析 $f''(x) > 0$ 的含义
由于 $f''(x) > 0$，说明函数 $f(x)$ 的一阶导数 $f'(x)$ 在整个定义域 $(-\infty, +\infty)$ 上是单调递增的。
步骤 2：利用极限条件分析 $f'(x)$ 的性质
由 $\lim _{x\rightarrow -\infty }f'(x)=a\gt 0$ 和 $\lim _{x\rightarrow +\infty }f'(x)=\beta \lt 0$，可以知道 $f'(x)$ 在 $x \rightarrow -\infty$ 时大于0，而在 $x \rightarrow +\infty$ 时小于0。由于 $f'(x)$ 是单调递增的，因此存在一个点 $x_1$，使得 $f'(x_1) = 0$。在 $x < x_1$ 时，$f'(x) > 0$，在 $x > x_1$ 时，$f'(x) < 0$。这意味着 $f(x)$ 在 $(-\infty, x_1)$ 上单调递增，在 $(x_1, +\infty)$ 上单调递减。
步骤 3：分析 $f(x)$ 的性质
由于 $f(x)$ 在 $(-\infty, x_1)$ 上单调递增，在 $(x_1, +\infty)$ 上单调递减，且 $f(x_1)$ 是 $f(x)$ 的最大值。又因为存在一点 $x_0$，使得 $f(x_0) < 0$，所以 $f(x_1) \geq f(x_0) < 0$。这意味着 $f(x)$ 在 $x_1$ 处的值小于0。
步骤 4：证明方程 $f(x) = 0$ 有两个实根
由于 $f(x)$ 在 $(-\infty, x_1)$ 上单调递增，在 $(x_1, +\infty)$ 上单调递减，且 $f(x_1) < 0$，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty, x_1)$ 和 $(x_1, +\infty)$ 上各有一个零点。因此，方程 $f(x) = 0$ 有两个实根。
由于 $f''(x) > 0$，说明函数 $f(x)$ 的一阶导数 $f'(x)$ 在整个定义域 $(-\infty, +\infty)$ 上是单调递增的。
步骤 2：利用极限条件分析 $f'(x)$ 的性质
由 $\lim _{x\rightarrow -\infty }f'(x)=a\gt 0$ 和 $\lim _{x\rightarrow +\infty }f'(x)=\beta \lt 0$，可以知道 $f'(x)$ 在 $x \rightarrow -\infty$ 时大于0，而在 $x \rightarrow +\infty$ 时小于0。由于 $f'(x)$ 是单调递增的，因此存在一个点 $x_1$，使得 $f'(x_1) = 0$。在 $x < x_1$ 时，$f'(x) > 0$，在 $x > x_1$ 时，$f'(x) < 0$。这意味着 $f(x)$ 在 $(-\infty, x_1)$ 上单调递增，在 $(x_1, +\infty)$ 上单调递减。
步骤 3：分析 $f(x)$ 的性质
由于 $f(x)$ 在 $(-\infty, x_1)$ 上单调递增，在 $(x_1, +\infty)$ 上单调递减，且 $f(x_1)$ 是 $f(x)$ 的最大值。又因为存在一点 $x_0$，使得 $f(x_0) < 0$，所以 $f(x_1) \geq f(x_0) < 0$。这意味着 $f(x)$ 在 $x_1$ 处的值小于0。
步骤 4：证明方程 $f(x) = 0$ 有两个实根
由于 $f(x)$ 在 $(-\infty, x_1)$ 上单调递增，在 $(x_1, +\infty)$ 上单调递减，且 $f(x_1) < 0$，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty, x_1)$ 和 $(x_1, +\infty)$ 上各有一个零点。因此，方程 $f(x) = 0$ 有两个实根。