4.设n阶实方阵A可逆，已知它的行列式|A|=a，A^*是A的伴随矩阵，则|A^*|= (A. aB. a^-1C. a^n-1D. a^n

考查要点：本题主要考查伴随矩阵的性质以及行列式的运算规律，需要结合矩阵可逆的条件进行推导。

解题核心思路：
利用伴随矩阵与原矩阵的关系式 $A \cdot A^{*} = |A|I$，通过行列式的性质推导出 $|A^{*}|$ 的表达式。关键点在于：

1. 行列式的乘积性质：$|AB| = |A| \cdot |B|$；
2. 标量矩阵的行列式：$|cI| = c^{n}$；
3. 逆矩阵的行列式：$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$。

破题关键：
将关系式 $A \cdot A^{*} = |A|I$ 两边取行列式，结合上述性质即可建立方程求解。

步骤1：写出伴随矩阵与原矩阵的关系式

根据伴随矩阵的定义，有：
$A \cdot A^{*} = |A|I$
其中 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵。

步骤2：对等式两边取行列式

对等式两边取行列式，利用行列式的乘积性质：
$|A| \cdot |A^{*}| = ||A|I|$

步骤3：计算右侧行列式

右侧 $| |A|I |$ 是标量矩阵的行列式，其值为：
$| |A|I | = |A|^{n} \cdot |I| = |A|^{n}$
（因为 $|cI| = c^{n}$，而 $|I| = 1$）

步骤4：建立方程并求解

将等式代入得：
$|A| \cdot |A^{*}| = |A|^{n}$
两边同时除以 $|A|$（注意 $|A| \neq 0$ 因为 $A$ 可逆）：
$|A^{*}| = |A|^{n-1}$
即：
$|A^{*}| = a^{n-1}$